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| SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=8178 |
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| Autor: | beneditorato [ 09 mar 2015, 18:08 ] |
| Título da Pergunta: | SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243 |
Alguém pode me ajudar e a encontrar o Sn da seguinte soma parcial: S1=1/3 S2=5/9 S3=18/27 S4=58/81 S5=179/243 SN=? Da sequencia 1/3, 2/9, 3/27, 4/81 |
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| Autor: | Estudioso [ 09 mar 2015, 23:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243 |
Olá! Eu não consegui enxergar uma lógica para o numerador da sequência S1, S2, S3, S4, S5, SN. Mas no denominador temos (3)¹, (3)², (3)³, ... , (3)^n. Agora, o SN da sequência 1/3, 2/9, 3/27, 4/81, será: SN = n/(3)^n. Vamos ver se alguém pode completar a solução para acabar de lhe ajudar. |
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| Autor: | beneditorato [ 10 mar 2015, 23:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243 |
O SN da sequencia é este mesmo, mas eu preciso saber o SN da soma parcial da sequencia. mesmo assim obrigado pela atenção amigo. Eu imagino que tenha que multiplicar ou dividir esses termos por algo, pra encontrar a semelhança entre eles. |
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| Autor: | Baltuilhe [ 12 mar 2015, 12:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: SN de 1/3, 5/9, 18/27, 58/81, 179/243 |
Bom dia! Na progressão com os termos: \(::a_1:a_2:a_3:\ldots:a_n::\) Onde: \(a_1=\frac{1}{3^{1}}\\ a_2=\frac{2}{3^{2}}\\ a_3=\frac{3}{3^{3}}\\ a_n=\frac{n}{3^{n}}\\\) Pede-se para que seja encontrado a fórmula fechada para o somatório dos 'n' primeiros termos: \(S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\) Substituindo os valores dos termos na fórmula de somatório temos: \(S_n=\frac{1}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\ldots+\frac{n-1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^{n}}\) (I) Multiplicando-se a última fórmula por 1/3 teremos: \((1/3)S_n=\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{3^{4}}+\ldots+\frac{n-1}{3^{n}}+\frac{n}{3^{n+1}}\) (II) Veja que todos os denominadores (potências de 3) ficaram com expoente acrescido de 1. Agora, subtraindo (I) de (II) e desenvolvendo: \(S_n-(1/3)S_n=\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{3^{n}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\ S_n-\frac{1}{3}S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\ \frac{2}{3}S_n=\frac{1}{3}\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}}-\frac{n}{3^{n+1}}\\ \frac{2}{3}S_n=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\\ \frac{2}{3}S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3^n-1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\\ S_n=\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\left(\frac{3^n-1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^{n+1}}\right)\\ S_n=\left(\frac{3\cdot(3^n-1)}{4\cdot 3^n}\right)-\frac{n}{2\cdot 3^{n}}\\ S_n=\left(\frac{3^{n+1}-3-2n}{4\cdot 3^n}\right)\\ S_n=\frac{3^{n+1}-(2n+3)}{4\cdot 3^n}\) Espero ter ajudado! |
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