Progressão Geométrica dúvida na interpretação

[João Paulo Lima]

Um colecionador tinha 25 chaveiros. Como hoje ele adquiriu mais 3 chaveiros, ele tem hoje um total de 28 chaveiros em sua coleção. Amanhã, ele irá adquirir mais 6 chaveiros para agregar a sua coleção. Daqui a dois dias, ele irá adquirir mais 12 chaveiros. Dessa forma, a quantidade de chaveiros que ele adquirirá a cada dia para juntar a sua coleção formará uma progressão geométrica de razão 2. Daqui a quantos dias a coleção será de um total de 6166 chaveiros?

[danjr5]

Um colecionador tinha 25 chaveiros. Como hoje ele adquiriu mais 3 chaveiros, ele tem hoje um total de 28 chaveiros em sua coleção. Amanhã, ele irá adquirir mais 6 chaveiros para agregar a sua coleção. Daqui a dois dias, ele irá adquirir mais 12 chaveiros. Dessa forma, a quantidade de chaveiros que ele adquirirá a cada dia para juntar a sua coleção formará uma progressão geométrica de razão 2. Daqui a quantos dias a coleção será de um total de 6166 chaveiros?

Iniciemos a contagem a partir de hoje, então temos:

\(a_1 = 3 \\ a_2 = 6 \\ a_3 = 12 \\ \cdots\)

De fato, a razão da sequência vale 2.

Sabendo que a soma dos termos de um P.G finita é dada por \(\fbox{S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}}\), temos que:

\(25 + S_n = 6166\)

\(S_n = 6141\)

\(\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = 6141\)

\(\frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 6141\)

\(3 \cdot (2^n - 1) = 6141 \;\;\div(3\)

\(2^n - 1 = 2047\)

\(2^n = 2048\)

\(2^n = 2^{11}\)

\(\fbox{\fbox{n = 11 \;\; \text{dias}}}\)