Fórum de Matemática
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Seja Q o ponto de interseção da reta AP com o eixo Ox, r\(>\)0, \(\theta \in\)[0,\(\frac{\pi }{2}\)[ e AP=2rcos\(\sigma\). Prova que a área do triângulo [OQP] é dada por \(\frac{1}{2}r^{2}tg\sigma \left | cos2\sigma \right |\).

Fiz: Seja O" a projeção do ponto O em AP tal que AP e OO" são perpendiculares.
Consideremos o triângulo [AOP]:A[AOP]=\(\frac{APxOO"}{2}=r^{2}cos\sigma sen\theta\)
Consideremos o triângulo [AOQ]:A[AOQ]=\(\frac{OQxAO}{2}=\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\)
Então A[OQP]=A[AOP]-A[AOQ]=\(r^{2}cos\sigma sen\sigma -\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\) =\(\frac{2r^{2}cos\sigma sen\sigma -r^{2}tg\sigma }{2}\) = \(\frac{r^{2}}{2}sen2\sigma -tg\sigma\)
que é diferente do que quero provar.

O que estou a fazer mal? Podem ajudar-me? Obrigado.

Olá, Carmem:

\(A[AOP]=r^2.sen\theta.cos\theta =\ \frac{1}{2}.r^2.sen2\theta\)

\(A[OQP]=\frac{1}{2}.r^2.sen2\theta-\frac{1}{2}.r^2.tg\theta=\frac{1}{2}.r^2.(sen2\theta-tg\theta)\)

A fórmula está correta. Fiz o desenho da figura do AutoCAD, testei cada uma da trêz áreas, tudo bate. A área calculada com a fórmula do exercício também bate. Então, o problema agora é provar que

\(sen2\theta=tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)

Olá, Carmen:

Em lugar de tentar mostrar que
\(sen2\theta = tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)

mostratei que
\(tg\theta.cos2\theta=sen2\theta-tg\theta\)

Vamos lá
\(tg\theta.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.(2cos^2\theta-1)=\frac{2sen\theta.cos^2\theta-sen\theta}{cos\theta}=\\2sen\theta.cos\theta-\frac{sen\theta}{cos\theta}=sen2\theta-tg\theta\)