Não sei em que nível de ensino é feita tal pergunta. Se for no ensino superior então pode ser resolvido usando conceitos de álgebra linear e geometria analítica.
Os ingredientes que precisa para resolver são os seguintes fatos:
1) A área de um triângulo com vértices nos pontos \(\vec{0}=(0,0)\) , \(\vec{u}=(a,b)\) e \(\vec{v}=(c,d)\) é dado por \(\frac{1}{2}|\vec{u}\wedge\vec{v}|\) onde \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) é por definição o determinante da matriz 2X2 com \(\vec{u}=(a,b)\) na primeira coluna e \(\vec{v}=(c,d)\) na segunda coluna. Note que \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) é positivo sse \(\vec{u}\) precede \(\vec{v}\) no sentido anti-horário.
2) \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) é bilinear, ou seja, \((\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2})\wedge (\beta_1\vec{v_1}+\beta_2\vec{v_2})=\alpha_1\beta_1\vec{u_1}\wedge\vec{v_1}+\alpha_1\beta_2\vec{u_1}\wedge\vec{v_2}+\alpha_2\beta_1\vec{u_2}\wedge\vec{v_1}+\alpha_2\beta_2\vec{u_2}\wedge\vec{v_2}\).
3) \(\vec{u}\wedge\vec{u}=0\) para qualquer \(\vec{u}\in \mathbb{R}^2\).
4) \(\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}\) para quaisquer \(\vec{u},\vec{v}\in \mathbb{R}^2\).
(note que os fatos 2, 3 e 4 são propriedades conhecidas dos determinantes)
Agora considere que o ponto E na sua descrição do problema se situa na origem (i.e. E=(0,0)). Note que H=(B+D)/2 e G=(A+C)/2 e que a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo CDE menos a área do triângulo BAE. Com isto está em condições de resolver o exercício.
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