Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão? Agradeço desde já!

Um recipiente transparente, no formato de um pirâmide com base quadrada cujo lado mede 20 cm, tem 30 cm de altura. Se a pirâmide está apoiada sobre sua base e contém 1.952 cm³ de um líquido colorido, a altura do nível do líquido é
A) 12 cm
B) 6 cm
C) 18 cm
D) 24 cm

R: letra B

Olá, este exercício é simples de ser desmontado porém fica um pouco complexo quando se fala dos cálculos. Antes de começar o exercício é preciso saber estas duas fórmulas: volume da pirâmide e volume do tronco de uma pirâmide respetivamente
\(\fbox{V=\frac{1}{3}\cdot A\cdot h}\:,\:\fbox{V_t=\frac{h'}{3}\cdot (A+\sqrt{A\cdot a}+a)}\)

V=Volume Pirâmide
Vt=Volume Tronco
A=Área Base Maior
a=Área Base Menor
h=Altura da Pirâmide
h'=Altura do Tronco



Pegando agora na imagem vamos desmontar o problema:

\(A=20^2=400\: cm
H=30\:cm
V_{Total}=\frac{1}{3}\cdot 400\cdot 30=4000 \:cm^3
V_1=V_{Total}-V_2=4000-1952=2048\:cm^3
V_2=1952\:cm^3
h_1=H-h_2\)

\(V_1=\frac{1}{3}\cdot a\cdot h_1
V_2=\frac{h_2}{3}\cdot (A+\sqrt{A\cdot a}+a)\)

Desta forma conseguimos criar um sistema de equações com duas incógnitas trocando o h1

\(\begin{cases} 2048=\frac{1}{3}\cdot a\cdot (30-h_2) & \\ 1952=\frac{h_2}{3}\cdot (400+20\sqrt{a}+a) & \end{cases} \: = \begin{cases} a=\frac{6144}{(30-h_2)} & \\ 1952=\frac{h_2}{3}\cdot \left (400+20\sqrt{\frac{6144}{(30-h_2)}}+\frac{6144}{(30-h_2)} \right ) & \end{cases}\)

Esta é a equação da altura que é pedida:
\(1952=\frac{h_2}{3}\cdot \left (400+20\sqrt{\frac{6144}{(30-h_2)}}+\frac{6144}{(30-h_2)} \right )\)

A resolução desta equação é bastante complexa e seria necessário fazer várias mudanças de variáveis etc... Eu queria saber qual o seu grau de ensino ?
Eu vou procurar uma melhor forma de se resolver este exercício.

Oi, Pedro, obrigada por responder! Tenho o ensino médio completo. Se você encontrar uma forma mais simples de resolver, ficaria muito grata.

\(V_{piramide 1}=V_{total}=\frac{20^{2}\times 30}{3}=4000\)

O volume do tronco da pirâmide é igual a 1952 cm³.
Seja o volume da pirâmide 2 igual à diferença entre o volume da pirâmide 1 e o volume do tronco da pirâmide. \(V_{piramide 2}=2048\)



\(V_{p.2}=\frac{\left ( 2\, \overline{CE} \right )^{2}\times \overline{DC}}{3}\)

DB=30, porque é a altura da pirâmide "maior" e BA= 10, pois é a metade do comprimento da aresta da base da referida pirâmide.
Pela semelhança de triângulos podemos escrever \(\frac{DB}{DC}=\frac{BA}{CE}\Leftrightarrow \, \frac{30}{DC}=\frac{10}{CE}\Leftrightarrow \, DC=3\, CE\)

\(2048=\frac{4\, \overline{CE}^{2}\times 3\, \overline{CE}}{3}\Leftrightarrow \, 6144=12\, \overline{CE}^{3}\Leftrightarrow \, \overline{CE}=\sqrt[3]{512}\Leftrightarrow \, \overline{CE}=8\; \; \; logo\; \; DC=3\times 8=24\)

A altura do tronco da pirâmide será a diferença entre a altura da pirâmide 1 (30) e a altura da pirâmide 2 (24), logo a altura do nível do líquido é 6 cm, opção B .

Muito obrigada, Telma!!