equacao trigonometrica do tipo sen

[Zile]

qual é o numero de solucoes da equacao
\(\sin ^24x=1 ; 0< x< \prod\)

[jorgeluis]

sen² 4x = 1

fazendo 4x = x, temos:

sen² x + cos² x = 1
cos² x = 0
cos x = 0
logo,
\(x = \frac{\pi}{2}\)

sen² 4x = 1
sen² \({2\pi}\) = 1
sen \({2\pi}\) = +/- 1
logo,
a equação apresenta 2 soluções possíveis

[Sobolev]

\(\sin^2 (4x)=1 \Leftrightarrow \sin 4x = \pm 1 \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}\)

Sabendo que \(x\in[0, \pi]\) vê que das soluções antes determinadas apenas são admissíveis as que são obtidas quando k=0,1,2,3. Existem por isso quatro soluções, que são \(x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\).