Achar Area do Triangulo no Quadrante

[brunoh]

Uma criança e seu pai brincam na praia de marcar território. Eles pegam três estacas e as cravam na areia. O pai
resolve indicar coordenadas cartesianas (dadas em metro) dos pontos onde as estacas foram colocadas, conforme é
mostrado a seguir.
Depois o pai resolve calcular a área delimitada pelo triângulo formado pelos três pontos. O valor encontrado em seus
cálculos foi de
A) 7 m².      B) 11 m².     C) 14 m².     D) 22 m².

Anexos

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[Davi Constant]

Vamos fechar um retângulo com vértices em \((0,0);(0,4);(6,4);(6,0).\)
Podemos observar que esse retângulo é constituído por 4 triângulos, dos quais um desejamos calcular a área.

1°)triângulo \((0,0);(0,4);(1,4).\)
área: \(\frac{4\cdot 1}{2}=2\)

2°)triângulo \((0,0);(6,0);(6,2).\)
área: \(\frac{6\cdot 2}{2}=6\)

3º)triângulo \((1,4);(6,4);(6,2).\)
área: \(\frac{5\cdot 2}{2}=5\)

4º) =triângulo \((0,0);(1,4);(6,2).\)
área do retângulo: \(4 \cdot 6=24\)
área: \(24-(2+6+5)=11\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.

[Baltuilhe]

Boa noite!

Há uma forma de se calcular utilizando-se matriz que é bem interessante. Serve para um polígono com quantos vértices quiser.
A matriz contém todos as coordenadas dos vértices em colunas e a última coluna é a primeira coordenada, repetida!
\(A=\frac{|\left|\begin{matrix}
0 & 1 & 6 & 0\\
0 & 4 & 2 & 0
\end{matrix}\right||}{2}\)

Para calcular a área agora você multiplica os valores na diagonal para baixo e subtrai dos produtos na diagonal para cima. Como é em módulo não tem problema fazer a conta inversa

Assim:
\(A=\frac{|(0.4+1.2+6.0)-(0.1+4.6+2.0)|}{2}
A=\frac{|0+2+0-(0+24+0)|}{2}
A=\frac{|2-24|}{2}
A=\frac{22}{2}=11\)

Espero ter ajudado!

[anneodila]

De onde você tirou essa fórmula de módulo da matriz sobre 2? Que legal!

Boa noite!

Há uma forma de se calcular utilizando-se matriz que é bem interessante. Serve para um polígono com quantos vértices quiser.
A matriz contém todos as coordenadas dos vértices em colunas e a última coluna é a primeira coordenada, repetida!
\(A=\frac{|\left|\begin{matrix}
0 & 1 & 6 & 0\\
0 & 4 & 2 & 0
\end{matrix}\right||}{2}\)

Para calcular a área agora você multiplica os valores na diagonal para baixo e subtrai dos produtos na diagonal para cima. Como é em módulo não tem problema fazer a conta inversa

Assim:
\(A=\frac{|(0.4+1.2+6.0)-(0.1+4.6+2.0)|}{2}
A=\frac{|0+2+0-(0+24+0)|}{2}
A=\frac{|2-24|}{2}
A=\frac{22}{2}=11\)

Espero ter ajudado!

[Baltuilhe]

Boa noite!

Eu aprendi esta fórmula no ensino médio, Anneodila. Um professor muito bom que tive nos ensinou. Depois, na faculdade, tive uma matéria chamada Topografia onde aprendi alguns outros métodos para o cálculo de áreas baseadas em coordenadas. Um dos métodos era esse que te mostrei

Abraços!

[professorhelio]

Boa noite!

Eu aprendi esta fórmula no ensino médio, Anneodila. Um professor muito bom que tive nos ensinou. Depois, na faculdade, tive uma matéria chamada Topografia onde aprendi alguns outros métodos para o cálculo de áreas baseadas em coordenadas. Um dos métodos era esse que te mostrei

Abraços!

Essa informação se encontra em qualquer livro do Ensino Médio no conteúdo de Geometria Analítica. Todo professor deve mostrar isso aos seus alunos. Faz parte do currículo de qualquer escola no país.

[Baltuilhe]

ProfessorHelio, boa tarde!

Eu tenho alguns livros aqui em casa de ensino médio e em nenhum deles há este método. Há o método de dividir o polígono em triângulos e calcular sua área através da fórmula:
\(A=\frac{|\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right||}{2}\)

Onde \((x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)\) são as coordenadas do vértice do triângulo.

Poderia dizer o nome do livro que tenha a fórmula? Obrigado, Professor!

Abraços!

[jorgeluis]

também não conhecia esse método !!

muito bom Baltuilhe !!

Tu és o cara !!

[professorhelio]

também não conhecia esse método !!

muito bom Baltuilhe !!

Tu és o cara !!

Veja bem, tenho 7 coleções de livros didáticos de Matemática que possuem essa fórmula.
O determinante com a última coluna igual a 1 pode ser substituído pela repetição do ponto colocado na primeira linha.
x1 y1 1 x1 y1
x2 y2 1 x2 y2
x3 y3 1 x3 y3
x1y2 + y1x3 + x2y3 - x3y2 - y3x1 - x2y1

x1 y1
x2 y2
x3 y3
x1 y1
x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x3y2 - x2y1

Também pode repetir A ÚLTIMA LINHA como se fosse a primeira.
x3 y3
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x3y1 + x1y2 + x2y3 - x3y2 - x2y1 - x1y3

Não vejo porque atrelar a isso o teu professor ter sido um grande professor, embora pudesse ter sido.

[Baltuilhe]

Bom dia, ProfessorHelio!

Quais coleções são essas?

Obrigado, Professor!