Mínimo and máximo de a*sin(x) + b*cos(x)

[gustavo_pch]

Olá.

Eu estou estudando esse livro do Michael Corral http://mecmath.net/trig/trigbook.pdf. Estava indo tudo bem até chegar o exercício 15 da seção 3.2 (pág. 77), o qual também me fez perceber que não compreendi bem o exercício 6.

Exercício 6: Prove a identidade \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} sin(\theta+45\textdegree)\).
Explique por que isto mostra que \(-\sqrt{2} \leq \sin\theta + \cos\theta \leq \sqrt{2}\) for all angles \(\theta\).
Para qual \(\theta\) a expressão \(\sin\theta + \cos\theta\) alcança seu maior valor?

Exercício 15: Generalize o exercício 6: Dado quaisquer \(a\) e \(b\), \(-\sqrt{a^2 + b^2} \leq a \sin\theta + b \cos\theta \leq \sqrt{a^2+b^2}\) para todos \(\theta\).

Há uma dica para o exercício 15 no fim do livro dizendo "Para \(a \neq 0\) e \(b \neq 0\), desenhe um triângulo retângulo com catetos \(a\) e \(b\)".

Eu vejo que quando desenho esse triângulo retângulo, a hipotenusa dele é exatamente o valor máximo de \(\sin\theta + \cos\theta\) que eu estava procurando, mas por que isso acontece? Não estou entendendo a lógica por trás desse exercício.

Ficaria muito grato se alguém pudesse me ajudar a entender.

[Fraol]

Oi, estive pensando neste problema da seguinte forma:

Desenhando um triângulo retângulo de catetos \(a\) e \(b\) e hipotenusa \(c\) tais que:

\(sen \theta = \frac{a}{c}\), logo \(a \cdot sen \theta = \frac{a^2}{c}\). Analogamente obtém-se \(b \cdot cos \theta = \frac{b^2}{c}\).

Fazendo a soma: \(a \cdot sen \theta + b \cdot cos \theta = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c} = \fra{a^2+b^2}{\sqrt{a^2 +b^2}} = \sqrt{a^2 +b^2}\).

Como \(\sqrt{a^2 +b^2}\) é um número positivo ou nulo, podemos afirmar que \(-\sqrt{a^2 +b^2} \leq a \cdot sen \theta + b \cdot cos \theta \leq \sqrt{a^2 +b^2}\)

O que acha?

[gustavo_pch]

Hmmmm, já clareou um pouco pra mim.

Mas se \(a\cdot\sin\theta+b\cdot\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\), como pode esse \(=\) se tornar \(\leq\) na última parte da sua explicação? Quero dizer... se algo é IGUAL a outra coisa, como pode esse mesmo algo ser MENOR OU IGUAL que a outra coisa?

[Fraol]

Apelando para a lógica: se algo é 'igual a' então é 'menor do que' ou 'igual a'. Talvez, uma outra formulação para esse problema fosse melhor. Ou então há uma outra maneira de se deduzir a relação ...

[gustavo_pch]

Mas se pensar assim, poderia falar também que se algo é 'igual a' então é 'maior que' ou 'igual a'. Isso tornaria certo dizer que: \(a\cdot\sin\theta+b\cdot\cos\theta \geq \sqrt{a^2+b^2}\), mas pelo enunciado parece que isso não estaria correto.

[Fraol]

Sim. Você poderia dizer que algo 'igual a' é também 'maior do que' ou 'igual a'.


Por isso citei a formulação. Veja também que o lado esquerdo da relação é redundante. Sempre um número negativo será menor do que ou igual a um número positivo.

[Fraol]

Se me lembrar de alguma outra forma, menos ambígua, de demonstrar isso ( ou se algum outro colaborador nos ajudar ) eu posto aqui.

[gustavo_pch]

Ainda não deu o "click" final na minha cabeça, mas acho que encontrei um caminho:

O que queremos fazer é encontrar uma expressão equivalente a \(a\cdot\sin\theta+b\cdot\cos\theta\), mas que, em vez de ter tanto seno quanto cosseno, tenha apenas um deles.

Começamos com:

\(a\cdot\sin\theta+b\cdot\cos\theta\)

Consideramos a e b catetos de um triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa será \(\sqrt{a^2+b^2}\). Se dividirmos esses catetos a e b pela hipotenusa, teremos um seno (\(\frac{cateto}{hipotenusa} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)) e um cosseno (\(\frac{cateto}{hipotenusa} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)), ambos em função de um ângulo \(x\) qualquer. Aí temos que multiplicar tudo isso pela hipotenusa para compensar a divisão que fizemos:

\(\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\cos\theta)\)

Segue que:

\(\sqrt{a^2+b^2}(\sin x\cdot\sin\theta+\cos x\cdot\cos\theta)\)

Com isso, obtivemos a identidade trigonométrica do cosseno da soma, então podemos dizer que:

\(\sqrt{a^2+b^2}\cdot\cos(x-\theta)\)

OK, sabemos que o maior valor que um cosseno pode ter é +1, então o maior valor dessa expressão, que ainda é equivalente à expressão inicial, é:

\(\sqrt{a^2+b^2}\cdot1\)

E o menor valor que um cosseno pode ter é -1, então o valor mínimo é:

\(\sqrt{a^2+b^2}\cdot(-1)\)

Portanto, o maior valor de \(a\cdot\sin\theta+b\cdot\cos\theta\) é \(\sqrt{a^2+b^2}\) e o menor valor é \(-\sqrt{a^2+b^2}\).

Tá certa minha linha de raciocínio? Alguma sugestão de melhoria?

[Baltuilhe]

Boa noite!

Pensei no problema de forma diferente. Chamei de 'x' o termo que quero calcular e elevei ao quadrado. Depois fiz algumas manipulações trigonométricas.
\(x=a\sin(\theta)+b\cos(\theta)
x^2=\left(a\sin(\theta)+b\cos(\theta)\right)^2
x^2=a^2\sin^2(\theta)+2ab\sin(\theta)\cos(\theta)b^2\cos^2(\theta)
x^2=a^2\sin^2(\theta)+a^2\cos^2(\theta)+b^2\cos^2(\theta)+b^2\sin^2(\theta)-a^2\cos^2(\theta)+2ab\sin(\theta)\cos(\theta)-b^2\sin^2(\theta)
x^2=a^2\left(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\right)+b^2\left(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\right)-\left(a^2\cos^2(\theta)-2ab\sin(\theta)\cos(\theta)+b^2\sin^2(\theta)\right)
x^2=a^2+b^2-\left(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)\right)^2
x=\pm\sqrt{a^2+b^2-\left(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)\right)^2}\)

Agora, podemos analisar o valor máximo de \(x^2\) da seguinte forma:
Veja que \(a^2+b^2\) sempre é um valor positivo, assim como \(\left(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)\right)^2\).
Como o primeiro é subtraído pelo segundo, se o segundo valor for zero teremos um máximo valendo \(a^2+b^2\).
\(x^2=a^2+b^2-\left(a\cos(\theta)-b\sin(\theta)\right)^2\leq{a^2+b^2}
x^2\leq{a^2+b^2}
-\sqrt{a^2+b^2}\leq{x}\leq\sqrt{a^2+b^2}
-\sqrt{a^2+b^2}\leq{a\sin(\theta)+b\cos(\theta)}\leq\sqrt{a^2+b^2}\)

Espero ter ajudado!

[gustavo_pch]

Interessante, Baltuilhe.

Usando essa forma que você pensou, teria jeito de descobrir os ângulos exatos que fazem a expressão ter seu maior e menor valor?