Confusão dificil envolvendo seno conseno t tangente
30 jan 2016, 02:07
Considere o quarto de um círculo de raio 1 e os triângulos ABE e ACD apresentados na figura a seguir. Utilizando fórmulas de área padrão para concluir que:
(1/2)*senx*cosx<x/2<(1/2)*senx/cosx
(1/2)*senx*cosx<x/2<(1/2)*senx/cosx
- Anexos
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Re: Confusão dificil envolvendo seno conseno t tangente
30 jan 2016, 14:52
Olá,
Usei a sua figura para implementar um triângulo auxiliar ADB':
Pode-se ver que a área de AEB é menor do que a área de ADB' pois os dois triângulos têm a mesma altura mas a base do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AE \times EB = \frac{1}{2} \cdot cos(x) \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) .\)
Também pode-se ver que a área de ADB' é menor do que a área de ADC pois os dois triângulos têm a mesma base mas a altura do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AD \times DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot tg(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}.\)
Dessa forma eu mostrei que \(\frac{cos(x) \cdot sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2cos(x)}\).
Eu não consegui mostrar o seu termo do meio (\(\frac{x}{2}\)). Para isso, usando a minha abordagem, só chegaria em \(\frac{sen(x)}{2}= \frac{x}{2}\) para valores de \(x\) muito próximos de 0.
Usei a sua figura para implementar um triângulo auxiliar ADB':
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Pode-se ver que a área de AEB é menor do que a área de ADB' pois os dois triângulos têm a mesma altura mas a base do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AE \times EB = \frac{1}{2} \cdot cos(x) \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) .\)
Também pode-se ver que a área de ADB' é menor do que a área de ADC pois os dois triângulos têm a mesma base mas a altura do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AD \times DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot tg(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}.\)
Dessa forma eu mostrei que \(\frac{cos(x) \cdot sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2cos(x)}\).
Eu não consegui mostrar o seu termo do meio (\(\frac{x}{2}\)). Para isso, usando a minha abordagem, só chegaria em \(\frac{sen(x)}{2}= \frac{x}{2}\) para valores de \(x\) muito próximos de 0.