Lei dos senos e lei dos cossenos

[dressa_mw]

[João P. Ferreira]

Já experimentou mesmo aplicar a lei dos senos?

\(\frac{a}{sen \widehat{A}} = \frac{b}{sen \widehat{B}} = \frac{c}{sen \widehat{C}}\)

e considerando que \(sen(120^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

[jorgeluis]

condição para os lados deste triângulo: x>1

adotando x=2, temos:

a=x²+x+1
a=7

b=2x+1
b=5

c=x²-1
c=3

aplicando a lei dos cossenos:

\(a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos\theta
7^2=5^2+3^2-2.5.3.cos\theta
cos\theta=-\frac{15}{30}
cos\theta=-\frac{1}{2}\)

logo,
\(\theta=120^0\)

[Sobolev]

Boa tarde,

O método apresentado pelo jorgeluis, embora útil para perceber a parte operacional, não resolve a questão, já que se pretende verificar que, independentemente do x>1 escolhido, uma dos ângulos será sempre 120º. Usando a lei dos cossenos,

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Leftrightarrow
(x^2+x+1)^2 = (2x+1)^2+(x^2-1)^2 - 2(2x+1)(x^2-1) \cos A \Leftrightarrow
\cos A = \frac{2x^3+x^2-2x-1}{-4x^3-2x^2+4x+2} \Leftrightarrow
\cos A = \frac{(x-1)(x+1)(2x+1)}{-2(x-1)(x+1)(2x+1)}\Leftrightarrow
\cos A = -\frac 12\)

Como o ângulo A está entre 0º e 180º, sendo o cosseno igual a -1/2, temos que A = 120º.