Calcular maior área do retângulo dentro do triângulo isósceles

[tiagope21]

Por favor, podem resolver explicando?

Spoiler:

Letra B

Anexos

Questão

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Boa noite!

A área do retângulo vale:
\(A=xy\)

Vamos inicialmente calcular a altura do triângulo:
\(30^2=24^2+h^2\\900=576+h^2\\h^2=900-576=324\\h=\sqrt{324}=18\)

Agora podemos fazer a relação entre o triângulo de base y e o triângulo de base 48 (teorema de Thalles):
\(\frac{18}{48}=\frac{18-x}{y}\\\frac{3}{8}=\frac{18-x}{y}\\y=\frac{8}{3}(18-x)\)

Substituindo na equação da área:
\(A=x\cdot\frac{8}{3}(18-x)=\frac{8}{3}(18x-x^2)\)

Para encontrarmos a área máxima podemos derivar e igualar a zero:
\(A'=\frac{8}{3}(18-2x)=0\\18-2x=0\\2x=18\\x=\frac{18}{2}=9\)

Para determinar se este valor é máximo ou mínimo podemos analisar o sinal da derivada primeira:
Para x < 9 é positiva e para x > 9 é negativa, ou seja, ponto de máximo!

Agora podemos calcular o valor de y:
\(y=\frac{8}{3}(18-9)=\frac{8}{3}(9)=24\)

Então, as medidas serão: 9cm x 24cm

Espero ter ajudado!

[tiagope21]

Obrigado.