Demonstração de perímetro (desigualdade triangular)

[thaismagallhaes]

demonstre que p<x+y+z<2p.

Anexos

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[jorgeluis]

pela figura notamos que:

\(a=y=c > b=z > x\)

perímetro:
\(2p=a+y+c+b+z+x
2p=3y+2z+x\)

semiperímetro:
\(p=\frac{3y+2z+x}{2}\)

\(x+y+z > p
x+y+z > \frac{3y+2z+x}{2}
2x+2y+2z > 3y+2z+x
2x+2y > x+3y
x-y > 0,\)
impossível pois,\(0 < x < y\)

Para que consiga tal demonstração é necessário partir do princípio de medidas diferentes para todos os lados, o que torna a questão ainda mais difícil !!
mais tarde eu tento de novo!

[3,14159265]

Thaís,

O teorema da desigualdade triangular diz que:

* Um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros dois.

Desenvolvendo a primeira afirmação para os triângulos ACP, APB e BPC:

a < y+z
b < x+z
c < x+y


Somando os dois lados das inequações, temos:

a+b+c < 2x+2y+2z

Dividindo os dois lados por 2:

(a+b+c)/2 < x+y+z
p < x+y+z




Já provamos que x+y+z é maior que o semi perímetro do triângulo ABC. Agora vamos provar que x+y+z é menor que o perímetro:

z<a
x<b
y<c

Somando os dois lados das inequações, temos:

x+y+z < a+b+c
x+y+z < 2p

Espero que tenha entendido.