Cilindro inscrito na diagonal de um cubo

[Ruan]

A questão é a seguinte:
Entre todos os cilindros circulares inscritos num cubo de aresta "a" cujos eixos coincidem com a diagonal do cubo e cujos círculos das bases são tangentes às faces do cubo, o que tem volume máximo possui altura A e raio da base R. Sendo assim, qual é o valor de A+R?

A resposta certa é:
a(2*3^(1/2) + 6^(1/2))/6

[Rui Carpentier]

Vou tentar enumerar os passos que permitem resolver o problema:
1) Comece por considerar o cubo mergulhado em \(\mathbb{R}^3\) como sendo o conjunto \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\leq x,y,z \leq a\}\) e tome, sem perda de generalidade, o eixo do cilindro como sendo a diagonal que liga \((0,0,0)\) a \((a,a,a)\). Este passo não é necessário para a resolução mas ajuda-me a explicar melhor os próximos passos.
2) As bases do cilindro estão em planos de equação \(x+y+z=\frac{3a}{2}-t\) e \(x+y+z=\frac{3a}{2}+t\) com \(0\leq t \leq \frac{3a}{2}\). A altura do cilindro será a distância entre este dois planos que é \(A=\frac{2\sqrt{3}t}{3}\) (exercício).
3) A base do cilindro mais próximo da origem é círculo inscrito no triângulo equilátero \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x,y,z \geq 0 ; x+y+z=\frac{3a}{2}-t\}\). Podemos calcular o raio desse círculo usando o teorema de Pitágoras no triângulo de vértices na origem \((0,0,0)\), no centro do círculo \(\left(\frac{a}{2}-\frac{t}{3},\frac{a}{2}-\frac{t}{3},\frac{a}{2}-\frac{t}{3}\right)\) (onde o ângulo é reto) e no ponto \(\left(\frac{3a}{4}-\frac{t}{2},\frac{3a}{4}-\frac{t}{2},0\right)\) (que é o ponto onde o círculo toca o plano xy). Depois de feitas as contas (exercício) ver-se-á que o raio é \(R=\frac{\sqrt{6}\left(\frac{3a}{2}-t\right)}{6}\).
4) Com estes dados obtemos o volume do cilindro em função de \(t\in \left[0,\frac{3a}{2}\right]\), \(V(t)=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}t\left(\frac{3a}{2}-t\right)^2\) (exercício). Usando derivação conseguimos determinar o valor de t para o qual o volume é maximal, \(t=\frac{a}{2}\) (exercício).
5) Agora só tem de fazer a soma A+R com \(t=\frac{a}{2}\). \(A+R=\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{6}a}{6}=\dots\)

[jorgeluis]

diagonal do cubo: \(D=a\sqrt{3}\)
eixo do maior cilindro (altura): \(A=D\)
raio da base do maior cilindro: \(R=\frac{a}{2}\)

logo,

\(A+R=a.\sqrt{3}+\frac{a}{2}
A+R=\frac{2a.\sqrt{3}+a}{2}
A+R=\frac{a.(2.3^{\frac{1}{2}}+1)}{2}\)