Determinar dimensões do triangulo retangulo

[Cleide]

Encontrar as dimensões dos triângulos retângulos ABC com hipotenusa AC = 10cm,
quando sua area e maxima.

[Sobolev]

A area de um triangulo rectangulo, em termos dos seus catetos (x,y) é dada por \(A(x,y) = \frac{xy}{2}\). Se a hipotenusa é 10, então \(x^2+y^2 = 100\). Neste caso podemos reduzir a um problema de optimização numa variável... Como \(y = \sqrt{100-x^2}\), queremos maximizar a função \(A(x) = \frac 12 x \sqrt{100-x^2}\). Consegue prosseguir? ( a resposta final é \(x = 5 \sqrt{2}\)).