Determinar equação do plano paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1).

[GustavoFerreira]

Favor, determinar equação do plano paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1).

[jorgeluis]

equação do plano \(\alpha: ax+by+cz+d=0\)

se o plano contem os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1), podemos dizer que:

\(x=2-0, x=2
y=0-3, y=-3
z=-1-1, z=-2\)

assim,
\(\alpha: 2a-3b-2c+d=0\)

se, \(\alpha // z\), então:
\(\alpha \cap z=0\)
logo,
\(\alpha: 2a-3b-2c+d=0\)
\(z: ax+by+0z+c=0\)

\(2a-ax=0, a=2
-3b-by=0, b=-3
-2c-0z=0, c=0
d-c=0, d=c\)

assim, podemos dizer que:
\(\alpha: 2x-3y+0z+0={0}\)

[Estanislau]

jorgeluis, substitua as coordenadas de A na sua equação e certifique-se que não vale.

Há várias formas da equação do plano. Por exemplo, se o plano passar pelo ponto A(x_0, y_0, z_0) e for paralelo aos vetores v1 = (a, b, c) e v2 = (p, q, r), a equação é
\(\begin{vmatrix}
x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\
a & b & c \\
p & q & r
\end{vmatrix} = 0\)
Isto é obvio, já que o ponto M(x, y, z) pertence ao plano se, e somente se os vetores AM, v1 e v2 forem complanares, e o determinante é o produto triplo dos mesmos vetores.

No nosso caso, \(v_1 = \overline{AB}\) e v2 = k = (0, 0, 1).