simplificação de expressão trigonométrica envolvendo seno cosseno e cotangente

[davi.simões]

calcule:
(sen(x)+cos((∏/2)-x))(cotg(x-∏)-cotg(2∏-x))


obs: poste o desenvolvimento algebrico e seu raciocínio pois ja possuo a resposta mas nao entendo como se chega nela.










resposta: 4 cos x

[professorhelio]

[(sen(x)+cos((∏/2)-x)][cotg(x-∏)-cotg(2∏-x)]
(senx + cos90.cosx + sen90.senx).[1/tan(x - 180) - 1/tan(360 - x)]
(senx + senx).[1/(tanx/1) - 1/(-tanx/1)]
2.senx.2/tanx
4.senx.cosx/senx
4.cosx

[Estanislau]

professorhelio, peço desculpa, mas não pode ensinar essa maneira horrível de simplificação.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica#Simetria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica#Transla.C3.A7.C3.A3o_e_periodicidade
Depois, cot = cos/sin e tudo se simplifica em uma líhna.

[professorhelio]

professorhelio, peço desculpa, mas não pode ensinar essa maneira horrível de simplificação.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica#Simetria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonométrica#Transla.C3.A7.C3.A3o_e_periodicidade
Depois, cot = cos/sin e tudo se simplifica em uma líhna.

???????????????????????????????????????

[professorhelio]

[(sen(x)+cos((∏/2)-x)][cotg(x-∏)-cotg(2∏-x)]
(senx + cos90.cosx + sen90.senx).[1/tan(x - 180) - 1/tan(360 - x)]
(senx + senx).[1/(tanx/1) - 1/(-tanx/1)]
2.senx.2/tanx
4.senx.cosx/senx
4.cosx

Queria que fizesse assim? --> cos (90 - x) = cos 90 . cos x + sen90 . senx = 0.cosx + 1.senx = 0 + senx = senx
cotg (x - 180) = 1 / tan(x - 180)
tan (x - 180) = (tan x - tan 180)/(1 + tanx.tan180) = (tan x - 0)/(1 + tanx.0) = tan x / (1 + 0) = tan x / 1 = tan x
Logo, cotg(x - 180) = 1/tan x

cotg(360 - x) = 1/tan(360 - x)
tan(360 - x) = (tan 360 - tan x)/(1 + tan360.tan x) = (0 - tan x)/(1 + 0.tan x) = -tan x / (1 + 0) = -tan x / 1 = -tan x
Logo, cotg(360 - x) = 1/(-tan x) = -1/tan x

Assim, substituindo na expressão, temos: (senx + sen x).[1/tanx - (- 1/tanx)]
2.senx.(1/tanx + 1/tan x)
2.senx.2/tanx
4senx/tanx
4senx/(senx/cosx)
4senx.cosx/senx
4.cosx

[Estanislau]

Pensava que toda a gente sabia as identidades de tipo cos(π/2 - t) = sin t sem precisar de deduzi-los cada vez. São uma família numerosa, mas fácil a memorizar:

sin(π/2 - t) = cos t
cos(π/2 - t) = sin t
tan(π/2 - t) = cot t
cot(π/2 - t) = tan t

sin(π/2 + t) = cos t
cos(π/2 + t) = - sin t
tan(π/2 + t) = - cot t
cot(π/2 + t) = - tan t

sin(π - t) = sin t
cos(π - t) = - cos t
tan(π - t) = - tan t
cot(π - t) = - cot t

sin(π + t) = - sin t
cos(π + t) = - cos t
tan(π + t) = tan t
cot(π + t) = cot t

sin(3π/2 - t) = - cos t
cos(3π/2 - t) = - sin t
tan(3π/2 - t) = cot t
cot(3π/2 - t) = tan t

sin(3π/2 + t) = - cot t
cos(3π/2 + t) = sin t
tan(3π/2 + t) = - cot t
cot(3π/2 + t) = - tan t

sin(2π - t) = - sin t,
cos(2π - t) = cos t
tan(2π - t) = - tan t
cot(2π - t) = - cot t

sin(2π + t) = sin t,
cos(2π + t) = cos t
tan(2π + t) = tan t
cot(2π + t) = cot t

Ainda por cima,

sin(- t) = - sin t,
cos(- t) = cos t
tan(- t) = - tan t
cot(- t) = - cot t

Já disse que é muito fácil a memorizar. Basta reparar em duas coisas: 1) se o ângulo kπ/2 se referir ao «diâmetro vertical» (isso é, π/2 e 3π/2), a função trigonometrica muda-se sin ↔ cos, tan ↔ cot, se o ângulo se referir ao «diâmetro horizontal» (π e 2π), a função fica; 2) para determinar o sinal do lado direito, basta supor que t pertence ao primeiro quadrante. Por exemple, cos(π + t) o que é? O diâmetro é horizontal, então cos(π + t) = ± cos t; se t pertencer ao primeiro quadrante, π + t pertence ao terceiro, então cos(π + t) < 0. Portanto, cos(π + t) = - cos t, de acordo com a fórmula acima.

Claro que as fórmulas para 2π + t expressam a periodicidade, assim como as de tan(π + t) e cot(π + t). As últimas quatro fórmulas expressam a paridade.

Finalmente, se bem que a formula
cot x = 1/tan x
valha, não é a definição da cotangente. Ainda por cima, o domínio do lado direito é menor do que o do lado esquerdo. Portanto, esta fórmula deve ser aplicada com cuidado.

Usando as fórmulas acima e a periodicidade cot, temos
(sin x + cos(π/2 - x))(cot(x - π) - cot(2π - x)) = (sin x + sin x)(cot x + cot x) = 4 sin x cot x = 4 sin x cos x/sin x = 4 cos x
Pronto.

[professorhelio]

Pensava que toda a gente sabia as identidades de tipo cos(π/2 - t) = sin t sem precisar de deduzi-los cada vez. São uma família numerosa, mas fácil a memorizar:

sin(π/2 - t) = cos t
cos(π/2 - t) = sin t
tan(π/2 - t) = cot t
cot(π/2 - t) = tan t

sin(π/2 + t) = cos t
cos(π/2 + t) = - sin t
tan(π/2 + t) = - cot t
cot(π/2 + t) = - tan t

sin(π - t) = sin t
cos(π - t) = - cos t
tan(π - t) = - tan t
cot(π - t) = - cot t

sin(π + t) = - sin t
cos(π + t) = - cos t
tan(π + t) = tan t
cot(π + t) = cot t

sin(3π/2 - t) = - cos t
cos(3π/2 - t) = - sin t
tan(3π/2 - t) = cot t
cot(3π/2 - t) = tan t

sin(3π/2 + t) = - cot t
cos(3π/2 + t) = sin t
tan(3π/2 + t) = - cot t
cot(3π/2 + t) = - tan t

sin(2π - t) = - sin t,
cos(2π - t) = cos t
tan(2π - t) = - tan t
cot(2π - t) = - cot t

sin(2π + t) = sin t,
cos(2π + t) = cos t
tan(2π + t) = tan t
cot(2π + t) = cot t

Ainda por cima,

sin(- t) = - sin t,
cos(- t) = cos t
tan(- t) = - tan t
cot(- t) = - cot t

Já disse que é muito fácil a memorizar. Basta reparar em duas coisas: 1) se o ângulo kπ/2 se referir ao «diâmetro vertical» (isso é, π/2 e 3π/2), a função trigonometrica muda-se sin ↔ cos, tan ↔ cot, se o ângulo se referir ao «diâmetro horizontal» (π e 2π), a função fica; 2) para determinar o sinal do lado direito, basta supor que t pertence ao primeiro quadrante. Por exemple, cos(π + t) o que é? O diâmetro é horizontal, então cos(π + t) = ± cos t; se t pertencer ao primeiro quadrante, π + t pertence ao terceiro, então cos(π + t) < 0. Portanto, cos(π + t) = - cos t, de acordo com a fórmula acima.

Claro que as fórmulas para 2π + t expressam a periodicidade, assim como as de tan(π + t) e cot(π + t). As últimas quatro fórmulas expressam a paridade.

Finalmente, se bem que a formula
cot x = 1/tan x
valha, não é a definição da cotangente. Ainda por cima, o domínio do lado direito é menor do que o do lado esquerdo. Portanto, esta fórmula deve ser aplicada com cuidado.

Usando as fórmulas acima e a periodicidade cot, temos
(sin x + cos(π/2 - x))(cot(x - π) - cot(2π - x)) = (sin x + sin x)(cot x + cot x) = 4 sin x cot x = 4 sin x cos x/sin x = 4 cos x
Pronto.

Vai falar pro aluno decorar isso tudo que ele coloca você pra correr da sala de aula.

[Estanislau]

Para aprender trigonometria, é preciso decorar cerca de 40 identidades. Ninguém diz que seja fácil, mas não há outra maneira. Como disse Euclides, não existe via régia à geometria. Felizmente, como já expliquei, não vale a pena memorizar os 32 fórmulas acima, pois bastam duas regras simples.

[davi.simões]

Para aprender trigonometria, é preciso decorar cerca de 40 identidades. Ninguém diz que seja fácil, mas não há outra maneira. Como disse Euclides, não existe via régia à geometria. Felizmente, como já expliquei, não vale a pena memorizar os 32 fórmulas acima, pois bastam duas regras simples.

obrigado! pela excelente resposta eu agradeço pelo rigor matemático que você aplica a sua resposta e pretendo seguir o mesmo caminho que apesar de tortuoso vale muito a pena.