Cálculo de produto escapar dos lados de um pentágono regular

[nsm]

Boas, alguém me consegue ajudar neste exercício??

Anexos

[jackrussell]

O ângulo entre \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) é 108 graus, que você já encontrou (2x=108).
Usando a definição do produto escalar:
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=u.v.cos(\theta)=1.1.cos(108^{\circ})\)
Usando a fórmula para cosseno da soma:
\(cos(108^{\circ})=cos(90^{\circ}+18^{\circ})=cos(90^{\circ}).cos(18^{\circ})-sen(90^{\circ}).sen(18^{\circ})=-sen(18^{\circ})\).

Então:
\(\left \| \vec{u}-\vec{v} \right \|^{2}=(\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+2.\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}=1+2.\vec{u}\cdot \vec{v}+1\)

Basta fazer as contas.

[jorgeluis]

\(\theta = \frac{2\pi}{5}\)

produto vetorial:

\(\vec{u}\times \vec{v}=\left | \vec{u} \right |.\left | \vec{v} \right |.sen \theta\)

como,
\(\left | \vec{u} \right |=\left | \vec{v} \right |\)
\(\left | \vec{u} \right |=1\) (unidade de comprimento \(u_c\))
e,
\(sen \theta=sen (\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{5})
sen \theta=sen \frac{\pi}{10}
sen \frac{\pi}{10}= \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
então,
\(\vec{u}\times \vec{v}=\left | \vec{u} \right |^2.sen \theta
\vec{u}\times \vec{v}=\pm 1.sen \frac{\pi}{10}\)

assim,
\(\vec{u}\times \vec{v}=+\frac{\sqrt{5}-1}{4}
ou
\vec{u}\times \vec{v}=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

[Estanislau]

jorgeluis, o produto vetorial é um vetor. Além disso, é preciso tres dimensões.