Inequação trigonométrica

[crsjcarlos]

Boa tarde, gostaria de uma ajuda para saber qual foi o meu erro:

Resolva a inequação:

senx + cosx \(\geq\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Primeiro eu simplifiquei senx + cosx:

\((senx + cosx)^{2} -2senx.cosx = 1 \to \ (senx + cosx)^{2} = 1 + sen2x \Rightarrow senx + cosx = \pm \sqrt{1 + sen2x}\)

Agora resolvi a inequação:

\(\pm \sqrt{1 + sen2x} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 1 + sen2x \geq \frac{1}{2}\Rightarrow sen2x \geq -\frac{1}{2}\)

[Rui Carpentier]

O problema é que as implicações que tem na resolução não são equivalências:

\(\mbox{sen}x +\cos x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \mbox{sen}(2x)\geq -\frac{1}{2}\)

mas \(\mbox{sen}(2x)\geq -\frac{1}{2}\not\Rightarrow \mbox{sen}x +\cos x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Portanto após determinar o conjunto onde \(\mbox{sen}(2x)\geq -\frac{1}{2}\) (i.e. \(\cup_{n\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{12}+n\pi,\frac{7\pi}{12}+n\pi\right]\)) temos que o intersetar com o conjunto onde \(\mbox{sen}x +\cos x\geq 0\) (que é \(\cup_{n\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{4}+2n\pi,\frac{5\pi}{4}+2n\pi\right]\)) sendo o resultado final igual a \(\cup_{n\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{12}+2n\pi,\frac{7\pi}{12}+2n\pi\right]\) (salvo erro).

Uma maneira mais prática de resolver seria assim:

\(\mbox{sen}x +\cos x\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\mbox{sen}x +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{4})\mbox{sen}x +\mbox{sen}(\frac{\pi}{4})\cos x\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \mbox{sen}(\frac{\pi}{4} +x)\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4} \in \cup_{n\in\mathbb{Z}}\left[\frac{\pi}{6}+2n\pi,\frac{5\pi}{6}+2n\pi\right] \Leftrightarrow x\in\cup_{n\in\mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{12}+2n\pi,\frac{7\pi}{12}+2n\pi\right]\)