Trigonometria e Funções trigonométricas. Contradomínio

[Carmen]

Determine o contradomínio e os zeros da função f(x)=-1-2cos²(3x+\(\frac{\pi }{4}\)).

Podem ajudar-me. Obrigado

[Walter R]

Zeros:
\(1- 2cos^2 \left ( 3x + \frac{\pi }{4}\right )= 0 \rightarrow cos^2 \left ( 3x+ \frac{\pi}{4} \right )=\frac{1}{2}\rightarrow cos\left ( 3x +\frac{\pi}{4} \right )= +-\frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow 3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\rightarrow x=0\) ou \(3x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\rightarrow x=\frac{\pi}{6}\). Tem mais um par de soluções no terceiro e quarto quadrantes. Consegue encontrar?

Contradomínio:
o contradomínio da função cosseno ao quadrado é o intervalo \(\left [ 0,1 \right ]\). Como \(1-2.0=1\) e \(1-2.1=-1\), então o contradomínio da função pedida é o intervalo \(\left [ -1,1 \right ]\).

[danjr5]

Olá Walter, boa tarde!

Ao calcular os zeros, considerou a função f(x) como sendo \(\mathsf{+ 1 - 2\cos^2...}\). Mas, de acordo com o enunciado, \(\mathsf{f(x) = - 1 - 2\cos^2...}\)

[Carmen]

Olá, para achar os zeros, fiz -1-2cos²(3x+\(\frac{\pi }{4}\))=0 \(\Leftrightarrow\) cos(3x+\(\frac{\pi }{4}\))=+/-\(\sqrt{-\frac{1}{2}}\).
O radicando da raiz é negativo, logo a raiz é impossível é essa a razão para a função não ter zeros?

Gostava também de tirar outra dúvida, se o radicando da raiz não fosse negativo como é que sei se é -\(\sqrt{\frac{1}{2}}\) ou +\(\sqrt{\frac{1}{2}}\).

Podem ajudar-me. Obrigado

[danko71]

Olá, Carmen:
Quanto à primeira pergunta, a função não tem zeros exatamente pelo fato de a raiz ser impossível. Para se assegurar disso, resolva uma equação de segundo grau em que delta seja negativo.
Quanto à segunda pergunta, a resposta está no post do Walter (com o número 1, no início da equação, posivito). Repare que na segunda passagem ele faz \(cos(3x+\frac{\pi}{4})=\pm \frac{\sqrt2}{2}\) e você deve considerar as duas situações.
\(cos(3x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}=>cos(3x+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})=>3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}=>x=0\)
\(cos(3x+\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt2}{2}=>cos(3x+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{3\pi}{4})=>3x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}=>3x=\frac{2\pi}{4}=>x=\frac{\pi}{6}\)

Agora vamos à esquação original, \(y=-1-2cos^2(3x+\frac{\pi}{4})\)
Já vimos que não podemos encontrar raízes, mas podemos desenhar seu gráfico e obter sua imagem. Para isso, façamos \(3x+\frac{\pi}{4}=t\ =>\ x=\frac{1}{3}t-\frac{\pi}{12}\ e\ y=-1-2cos^2(t)\) Faremos t dar uma volta completa no círculo \((t=0\rightarrow t=2\pi)\) e construiremos a tabelinha que está no anexo. Vemos, sem dúvida, que a imagem da função é Im=[-3,-1]