Trigonometria e funções trigonométricas. Equações

[Carmen]

Resolver em \(\mathbb{R}\) a equação 2cos²(2x)=1.
Consigo fazer até:
2cos²(2x)=1\(\Leftrightarrow\) cos²(2x)=\(\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\) cos(2x)=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ⋁ cos(2x)= - \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Como cosx=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\), temos cosx=cos\(\frac{\pi }{4}\)⋁cosx=cos\(\frac{3\pi }{4}\) \(\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=\frac{3\pi }{4 }+2k\pi \vee x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi , k\in \mathbb{Z}\)

A partir daqui não sei continuar. Podem explicar-me o resto, mas com todos os passos para ver se consigo compreender, esta matéria.obrigado
As soluções dizem que o resultado é \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\vee x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}, k\in \mathbb{Z}\)

[Sobolev]

Carmen,

Não pode abandonar o 2x... pobre 2x!

Por exemplo,

\(\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow {\bf 2x}= \pm \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \Leftrightarrow
x = \pm \frac{\pi}{8} + k \pi\)