Trigonometria e funções trigonométricas. Áreas
29 Oct 2016, 17:54
Seja Q o ponto de interseção da reta AP com o eixo Ox, r\(>\)0, \(\theta \in\)[0,\(\frac{\pi }{2}\)[ e AP=2rcos\(\sigma\). Prova que a área do triângulo [OQP] é dada por \(\frac{1}{2}r^{2}tg\sigma \left | cos2\sigma \right |\).
Fiz: Seja O" a projeção do ponto O em AP tal que AP e OO" são perpendiculares.
Consideremos o triângulo [AOP]:A[AOP]=\(\frac{APxOO"}{2}=r^{2}cos\sigma sen\theta\)
Consideremos o triângulo [AOQ]:A[AOQ]=\(\frac{OQxAO}{2}=\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\)
Então A[OQP]=A[AOP]-A[AOQ]=\(r^{2}cos\sigma sen\sigma -\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\) =\(\frac{2r^{2}cos\sigma sen\sigma -r^{2}tg\sigma }{2}\) = \(\frac{r^{2}}{2}sen2\sigma -tg\sigma\)
que é diferente do que quero provar.
O que estou a fazer mal? Podem ajudar-me? Obrigado.
Fiz: Seja O" a projeção do ponto O em AP tal que AP e OO" são perpendiculares.
Consideremos o triângulo [AOP]:A[AOP]=\(\frac{APxOO"}{2}=r^{2}cos\sigma sen\theta\)
Consideremos o triângulo [AOQ]:A[AOQ]=\(\frac{OQxAO}{2}=\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\)
Então A[OQP]=A[AOP]-A[AOQ]=\(r^{2}cos\sigma sen\sigma -\frac{r^{2}tg\sigma }{2}\) =\(\frac{2r^{2}cos\sigma sen\sigma -r^{2}tg\sigma }{2}\) = \(\frac{r^{2}}{2}sen2\sigma -tg\sigma\)
que é diferente do que quero provar.
O que estou a fazer mal? Podem ajudar-me? Obrigado.
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Re: Trigonometria e funções trigonométricas. Áreas
16 dez 2016, 23:03
Olá, Carmem:
\(A[AOP]=r^2.sen\theta.cos\theta =\ \frac{1}{2}.r^2.sen2\theta\)
\(A[OQP]=\frac{1}{2}.r^2.sen2\theta-\frac{1}{2}.r^2.tg\theta=\frac{1}{2}.r^2.(sen2\theta-tg\theta)\)
A fórmula está correta. Fiz o desenho da figura do AutoCAD, testei cada uma da trêz áreas, tudo bate. A área calculada com a fórmula do exercício também bate. Então, o problema agora é provar que
\(sen2\theta=tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)
\(A[AOP]=r^2.sen\theta.cos\theta =\ \frac{1}{2}.r^2.sen2\theta\)
\(A[OQP]=\frac{1}{2}.r^2.sen2\theta-\frac{1}{2}.r^2.tg\theta=\frac{1}{2}.r^2.(sen2\theta-tg\theta)\)
A fórmula está correta. Fiz o desenho da figura do AutoCAD, testei cada uma da trêz áreas, tudo bate. A área calculada com a fórmula do exercício também bate. Então, o problema agora é provar que
\(sen2\theta=tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)
Re: Trigonometria e funções trigonométricas. Áreas [resolvida]
17 dez 2016, 16:32
Olá, Carmen:
Em lugar de tentar mostrar que
\(sen2\theta = tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)
mostratei que
\(tg\theta.cos2\theta=sen2\theta-tg\theta\)
Vamos lá
\(tg\theta.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.(2cos^2\theta-1)=\frac{2sen\theta.cos^2\theta-sen\theta}{cos\theta}=\\2sen\theta.cos\theta-\frac{sen\theta}{cos\theta}=sen2\theta-tg\theta\)
Em lugar de tentar mostrar que
\(sen2\theta = tg\theta.cos2\theta+tg\theta\)
mostratei que
\(tg\theta.cos2\theta=sen2\theta-tg\theta\)
Vamos lá
\(tg\theta.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.cos2\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}.(2cos^2\theta-1)=\frac{2sen\theta.cos^2\theta-sen\theta}{cos\theta}=\\2sen\theta.cos\theta-\frac{sen\theta}{cos\theta}=sen2\theta-tg\theta\)