Produto escalar de vetores. Propriedades

[Carmen]

Sejam \(\underset{u}{\rightarrow} e \underset{v}{\rightarrow}\) dois vetores.
Prova que \(\underset{u}{\rightarrow} . \underset{v}{\rightarrow}\) = \(\frac{1}{2}(\left \| \underset{u}{\rightarrow} \right \|^{2}+\left \| \underset{v}{\rightarrow} \right \|^{2}-\)\(\left \| \underset{u}{\rightarrow}-\underset{v}{\rightarrow} \right \|\) \(^{2})\).

Podem ajudar-me? Obrigado

[Sobolev]

Apenas tem que considerar as definições de cada uma das quantidades envolvidas. É preciso começar!

\(\vec{u}\cdot \vec{v}= u_1 v_1+u_2v_2+ \cdots + u_n v_n\)

\(||\vec{u}||^2 = u_1^2+u_2^2 + \cdots + u_n^2\)

\(||\vec{v}||^2 = v_1^2+v_2^2 + \cdots + v_n^2\)

\(||\vec{u}-\vec{v}||^2=(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+\cdots +(u_n-v_n)^2 = (u_1^2+\cdots +u_n^2)+(v_1^2+v_2^2+\cdots+ v_n^2)-2(u_1 v_1+ \cdots +u_n v_n)\)

\(\frac 12 (||\vec{v}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2)=\frac 12((u_1^2+\cdots +u_n^2)+(v_1^2+\cdots+v_n^2)-(u_1^2+\cdots +u_n^2)-(v_1^2+\cdots +v_n^2) +2(u_1 v_1+\cdots+ u_n v_n) = u_1 v_1 + \cdots +u_n v_n = \vec{u}\cdot \vec{v}\)