Resolução de Triangulo Equilátero com Retângulo no Centro
17 nov 2016, 13:59
Bom dia gente!
Preciso urgente resolver esse exercício do anexo, mas não estou conseguindo.
Alguém consegue me ajudar?
Obrigadoo!
Preciso urgente resolver esse exercício do anexo, mas não estou conseguindo.
Alguém consegue me ajudar?
Obrigadoo!
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Re: Resolução de Triangulo Equilátero com Retângulo no Centro
26 nov 2016, 05:10
a) Para mostrar que o quadrilátero DEHI é um retângulo, vou mostrar que seus lados não consecutivos são paralelos e os lados não paralelos são perpendiculares.
Primeiro olhando para o triângulo maior, ABC, e tendo AB como base, temos que DE é uma base média (pois D é ponto médio de AC e E é ponto médio de BC) e portanto DE é paralelo a AB (I).
Agora olhando para o triângulo ABG, e tendo AB como base, temos que HI é uma base média (pois H é ponto médio de AG e I é ponto médio de BG) e portanto HI é paralelo a AB (II).
De (I) e (II), por transitividade, temos que DE é paralelo a HI, pois os dois são paralelos a AB (III).
Para os outros dois lados, primeiro observamos o triângulo CBG, tomando CG como base. Como D é ponto médio de BC e I é ponto médio de BG, temos que DI é base média de CBG e portanto paralelo a CG (IV).
E então olhamos para o triângulo CAG, tomando CG como base. Como E é ponto médio de AC e H é ponto médio de AG, temos que EH é base média de CAG e portanto paralelo a CG (V).
De (IV) e (V), e por transitividade, sabemos que EH é paralelo a DI, pois os dois são paralelos a CG (VI).
Como CG pertence à reta CF, que é perpendicular a AB, temos por (III) e (VI) que os lados DE e HI (paralelos entre si) são perpendiculares aos lados EH e DI (também paralelos entre si), e assim temos que DEHI é um retângulo.
b) Como HI é base média de ABG, temos que \(DE=HI=\frac{AB}{2}=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)
Como CF é altura do triângulo equilátero, temos \(CF=\frac{L\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3\cdot \sqrt3}{2}=5\cdot 3=15\)
E pela relação do baricentro de um triângulo equilátero, temos que CG é o dobro de GF (que implica que CG é 2/3 da altura), isto é, \(CG=\frac{2}{3}\cdot CF=\frac{2}{3}\cdot 15=10\)
Agora, temos que EH é base média de CAG, e então \(DI=EH=\frac{CG}{2}=\frac{10}{2}=5\)
Portanto, a área do retângulo DEHI é dada por \(EH\cdot HI=5\cdot 5\sqrt3=25\sqrt3\)
Primeiro olhando para o triângulo maior, ABC, e tendo AB como base, temos que DE é uma base média (pois D é ponto médio de AC e E é ponto médio de BC) e portanto DE é paralelo a AB (I).
Agora olhando para o triângulo ABG, e tendo AB como base, temos que HI é uma base média (pois H é ponto médio de AG e I é ponto médio de BG) e portanto HI é paralelo a AB (II).
De (I) e (II), por transitividade, temos que DE é paralelo a HI, pois os dois são paralelos a AB (III).
Para os outros dois lados, primeiro observamos o triângulo CBG, tomando CG como base. Como D é ponto médio de BC e I é ponto médio de BG, temos que DI é base média de CBG e portanto paralelo a CG (IV).
E então olhamos para o triângulo CAG, tomando CG como base. Como E é ponto médio de AC e H é ponto médio de AG, temos que EH é base média de CAG e portanto paralelo a CG (V).
De (IV) e (V), e por transitividade, sabemos que EH é paralelo a DI, pois os dois são paralelos a CG (VI).
Como CG pertence à reta CF, que é perpendicular a AB, temos por (III) e (VI) que os lados DE e HI (paralelos entre si) são perpendiculares aos lados EH e DI (também paralelos entre si), e assim temos que DEHI é um retângulo.
b) Como HI é base média de ABG, temos que \(DE=HI=\frac{AB}{2}=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)
Como CF é altura do triângulo equilátero, temos \(CF=\frac{L\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3\cdot \sqrt3}{2}=5\cdot 3=15\)
E pela relação do baricentro de um triângulo equilátero, temos que CG é o dobro de GF (que implica que CG é 2/3 da altura), isto é, \(CG=\frac{2}{3}\cdot CF=\frac{2}{3}\cdot 15=10\)
Agora, temos que EH é base média de CAG, e então \(DI=EH=\frac{CG}{2}=\frac{10}{2}=5\)
Portanto, a área do retângulo DEHI é dada por \(EH\cdot HI=5\cdot 5\sqrt3=25\sqrt3\)