Definição de limite de uma sucessão
13 jan 2017, 09:29
Prove,por definição de limite que lim\(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1\).
Fiz como está em anexo mas agora não sei continuar
Podem ajudar-me? Obrigado
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Re: Definição de limite de uma sucessão [resolvida]
13 jan 2017, 10:20
\(\lim \frac{n^2}{n^2+1} = 1 \Leftrightarrow \forall \delta >0 \exists p: n > p \Rightarrow \left| \frac{n^2}{n^2+1} - 1\right| < \delta\)
Assim, partindo de um \(\delta > 0\) arbitrário, devemos identificar p. Para saber a partir de que ordem o módulo é inferior a \(\delta\), devemos resolver a inequação (tal como faz)
\(\left| \frac{n^2}{n^2+1} - 1\right| < \delta \Leftrightarrow \left| \frac{n^2-n^2-1}{n^2+1}\right|< \delta \Leftrightarrow \frac{1}{n^2+1} < \delta \Leftrightarrow n^2 \delta + \delta >1 \Leftrightarrow n^2 > \frac{1-\delta}{\delta}\).
Agora, se \(\delta \ge 1\) a inequação é verificada para qualquer n e podemos tomar p=1. Se \(0< \delta < 1\) basta tomar p como sendo o menor inteiro maior que \(\sqrt{\frac{1-\delta}{\delta}}\). Como para qualquer \(\delta >0\) é possível encontrar um p tal que (...) concluímos que realmente o limite da sucessão é igual a 1.
Assim, partindo de um \(\delta > 0\) arbitrário, devemos identificar p. Para saber a partir de que ordem o módulo é inferior a \(\delta\), devemos resolver a inequação (tal como faz)
\(\left| \frac{n^2}{n^2+1} - 1\right| < \delta \Leftrightarrow \left| \frac{n^2-n^2-1}{n^2+1}\right|< \delta \Leftrightarrow \frac{1}{n^2+1} < \delta \Leftrightarrow n^2 \delta + \delta >1 \Leftrightarrow n^2 > \frac{1-\delta}{\delta}\).
Agora, se \(\delta \ge 1\) a inequação é verificada para qualquer n e podemos tomar p=1. Se \(0< \delta < 1\) basta tomar p como sendo o menor inteiro maior que \(\sqrt{\frac{1-\delta}{\delta}}\). Como para qualquer \(\delta >0\) é possível encontrar um p tal que (...) concluímos que realmente o limite da sucessão é igual a 1.