Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados. [resolvida]
13 jan 2017, 20:31
Bom dia, peço ajuda com a resolução desta questão:
Um triângulo é tal que seus lados medem 2cm, 6cm e 2√10. Nessa condição, é verdadeiro afirmar que qualquer outro triângulo a ele semelhante terá uma de suas alturas expressa por:
a) \(p\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
b) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}\), sendo p a razão de semelhança.
c) \(p\cdot \frac{2\sqrt{5}}{6}\), sendo p a razão de semelhança.
d) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
e) \(p\cdot \frac{3\sqrt{5}}{8}\), sendo p a razão de semelhança.
É uma questão de concurso. A alternativa correta é a letra D, só não sei como obter o resultado.
Desde já, agradeço.
Um triângulo é tal que seus lados medem 2cm, 6cm e 2√10. Nessa condição, é verdadeiro afirmar que qualquer outro triângulo a ele semelhante terá uma de suas alturas expressa por:
a) \(p\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
b) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}\), sendo p a razão de semelhança.
c) \(p\cdot \frac{2\sqrt{5}}{6}\), sendo p a razão de semelhança.
d) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
e) \(p\cdot \frac{3\sqrt{5}}{8}\), sendo p a razão de semelhança.
É uma questão de concurso. A alternativa correta é a letra D, só não sei como obter o resultado.
Desde já, agradeço.
Re: Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados.
13 jan 2017, 23:50
Comece por ver que o triângulo é retângulo com hipotenusa \(2\sqrt{10}\). Portanto as suas alturas são 2, 6 e a altura perpendicular à hipotenusa (vamos chamar de a). Esta última pode ser calculada sabendo a área (que é 6) e a hipotenusa (que é \(2\sqrt{10}\)): altura = 2área/hipotenusa (exercício). Qualquer triângulo semelhante terá como alturas 2p, 6p e pa onde p é a razão de semelhança.
Spoiler:
Re: Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados.
14 jan 2017, 21:38
Interessante!!
Mas tenho uma outra perspetiva de abordagem, permitam-me...
Tal como o Rui Carpentier mencionou e muito bem, pode-se verificar se o triangulo é retângulo. Mas que interesse temos em se efetuar isso? Bem, nenhum, apenas simplifica as formulas que utilizamos.
Se repararmos nos dados que nos dão, ficamos logo a saber que este triangulo também tem uma razão de semelhança = 2, pois \(2*1\) , \(2*3\) , \(2*\sqrt{10}\), seguindo esta linha de ideia, temos \(p*2\) , \(p*6\) , \(p*2*\sqrt{10}\)
Podemos então supor que a medida maior é a hipotenusa, neste caso \(2\sqrt{10}\) , então,
\(2^2 + 6^2 = (2\sqrt{10})^2\) , resolvendo...temos \(40 = 40\) , o que mostra que é retângulo. Confirmado!
A outra maneira que temos de verificar esta condição ( angulo retângulo ) e que nos vai ser útil para a resolução do exercício, é :
Introduzo a imagem para auxilio do seguinte procedimento
- pegar nas formulas da lei dos co-senos, ou seja, em \(c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos( E )\) , dito isto, resolvemos :
- \(cos( E ) = \frac{c^2-(a^2-b^2)}{-2*a*b}\) , ou seja \(cos( E ) = \frac{40 -40}{-2*a*b}\)\(= 0\)
- significando isto que \(sen^2( E ) + 0^2 = 1\) , ou \(sen^2( E ) = 1\) , ou \(sen( E ) = +-1\)
- Tanto o \(cos( E ) = 0\), como o \(sen( E ) = 1\) comprovam o triangulo retângulo no angulo "E", pois, equivale a 90º
Finalmente vamos aos procedimentos que nos permite escolher a resposta correta :
- trabalhamos com a área do triangulo, esta área pode ser tirada de duas maneiras \(A_1\) ou \(A_2\), ambas têm que ser iguais, pelo que \(A_1 = A_2\)
- \(A_1 = \frac{h * c}{2}\)
- \(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
Resolvendo... \(A_1 = A_2\) , temos
- \(\frac{h * c}{2} = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
Ou seja :
- \(h = \frac{a * b}{c} * sen( E )\)=\(\frac{a * b}{c} * 1\) = \(\frac{a * b}{c}\)
Agora é só substituir pelos dados fornecidos, ou seja, a = \(p*2\) , b = \(p*6\) , c = \(p*2*\sqrt{10}\) e temos :
- \(h = \frac{2 *p * 6 * p}{2 * p * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p^2 * 2 * 6}{p * 2 * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p * 6}{\sqrt{10}}\) =\(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{\sqrt{10 } * \sqrt{10}\) = \(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{10}\) = \(\frac{p * 3 * \sqrt{10}}{5}\)
Sendo esta a maneira de mostrar como se chegou à escolha da solução.
Até.
Mas tenho uma outra perspetiva de abordagem, permitam-me...
Tal como o Rui Carpentier mencionou e muito bem, pode-se verificar se o triangulo é retângulo. Mas que interesse temos em se efetuar isso? Bem, nenhum, apenas simplifica as formulas que utilizamos.
Se repararmos nos dados que nos dão, ficamos logo a saber que este triangulo também tem uma razão de semelhança = 2, pois \(2*1\) , \(2*3\) , \(2*\sqrt{10}\), seguindo esta linha de ideia, temos \(p*2\) , \(p*6\) , \(p*2*\sqrt{10}\)
Podemos então supor que a medida maior é a hipotenusa, neste caso \(2\sqrt{10}\) , então,
\(2^2 + 6^2 = (2\sqrt{10})^2\) , resolvendo...temos \(40 = 40\) , o que mostra que é retângulo. Confirmado!
A outra maneira que temos de verificar esta condição ( angulo retângulo ) e que nos vai ser útil para a resolução do exercício, é :
Introduzo a imagem para auxilio do seguinte procedimento
- pegar nas formulas da lei dos co-senos, ou seja, em \(c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos( E )\) , dito isto, resolvemos :
- \(cos( E ) = \frac{c^2-(a^2-b^2)}{-2*a*b}\) , ou seja \(cos( E ) = \frac{40 -40}{-2*a*b}\)\(= 0\)
- significando isto que \(sen^2( E ) + 0^2 = 1\) , ou \(sen^2( E ) = 1\) , ou \(sen( E ) = +-1\)
- Tanto o \(cos( E ) = 0\), como o \(sen( E ) = 1\) comprovam o triangulo retângulo no angulo "E", pois, equivale a 90º
Finalmente vamos aos procedimentos que nos permite escolher a resposta correta :
- trabalhamos com a área do triangulo, esta área pode ser tirada de duas maneiras \(A_1\) ou \(A_2\), ambas têm que ser iguais, pelo que \(A_1 = A_2\)
- \(A_1 = \frac{h * c}{2}\)
- \(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
Resolvendo... \(A_1 = A_2\) , temos
- \(\frac{h * c}{2} = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
Ou seja :
- \(h = \frac{a * b}{c} * sen( E )\)=\(\frac{a * b}{c} * 1\) = \(\frac{a * b}{c}\)
Agora é só substituir pelos dados fornecidos, ou seja, a = \(p*2\) , b = \(p*6\) , c = \(p*2*\sqrt{10}\) e temos :
- \(h = \frac{2 *p * 6 * p}{2 * p * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p^2 * 2 * 6}{p * 2 * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p * 6}{\sqrt{10}}\) =\(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{\sqrt{10 } * \sqrt{10}\) = \(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{10}\) = \(\frac{p * 3 * \sqrt{10}}{5}\)
Sendo esta a maneira de mostrar como se chegou à escolha da solução.
Até.
Re: Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados.
14 jan 2017, 21:44
Ficou esquecido mencionar que :
\(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
é a equação da área de um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).
Até.
\(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)
é a equação da área de um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).
Até.
Re: Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados.
15 jan 2017, 14:51
Caramba, mais simples do que eu imaginava 
Nem passou pela minha cabeça testar pra saber se o triângulo era retângulo, parti logo pra fórmula de Heron X_X
Obrigado a todos que responderam, valeu!
Nem passou pela minha cabeça testar pra saber se o triângulo era retângulo, parti logo pra fórmula de Heron X_X
Obrigado a todos que responderam, valeu!
Re: Semelhança entre triângulos quaisquer sabendo-se os lados.
15 jan 2017, 19:09
De nada!
Mas neste caso, não é obrigatório saber se é ou não retângulo.
Falou-se nisso mas como vistes resulta para um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).
Até.
Mas neste caso, não é obrigatório saber se é ou não retângulo.
Falou-se nisso mas como vistes resulta para um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).
Até.