Geometria Euclidiana - Medianas, Retas e Vertices.

[Alberto Carlos]

Pelo ponto de encontro das medianas de um triangulo qualquer, traca-se uma reta qualquer. Prove que a soma das distancias dos dois vertices do triangulo situados em um mesmo semiplano definido pela reta eh igual a distancia do terceiro vertice do triangulo a reta.

[Rui Carpentier]

Não vou resolver o exercício passo a passo, mas vou dar os dois passos essenciais para a sua resolução.
Fixando, em primeiro lugar, a notação. Sejam A, B e C os vértices do triângulo, com A e B no mesmo semi-plano. E sejam Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos a A, B e C respetivamente.
Passo 1: Prove que a distância do ponto médio do segmento AB (o ponto Mc) à reta é a média das distâncias dos pontos A e B à reta.
Note que sendo Mc ponto médio de AB as coordenadas de Mc são as médias das coordenadas de A e B.

Passo 2: Prove que a distância do ponto Mc à reta é metade da distância do ponto C à reta.
É questão de ver que o segmento que une Mc ao ponto da reta mais próximo se obtém do segmento que une C ao ponto da reta mais próximo rodando o plano 180º em torno do baricentro* do triângulo e reduzindo a escala por um fator de 1/2.

Depois a conclusão do exercício sai facilmente.

* O ponto de encontro das medianas.