poderiam fazer a resolucao dessa equação

[Felipe Velten]

não consigo achar duas soluções corretas para essa equação:
"sen7x+senx=cos5x-cos3x"
se alguém puder me ajudar desde já agradeço

[Baltuilhe]

Boa tarde!

\(\sin{7x}+\sin{x}=\cos{5x}-\cos{3x}\\
2\sin\left(\frac{7x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x-x}{2}\right)=-2\sin\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x-3x}{2}\right)\\
2\sin{4x}\cos{3x}=-2\sin{4x}\sin{x}\\
\cos{3x}+\sin{x}=0\\
\cos{3x}+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\\
2\cos\left(\frac{3x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-\frac{\pi}{2}+x}{2}\right)=0\\
2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\
\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\
x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{\pi}{4}\\
x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\\
x=\frac{5\pi}{4}\\
\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\
2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\
2x=\frac{3\pi}{4}\\
x=\frac{3\pi}{8}\\
2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}\\
2x=-\frac{\pi}{4}\\
x=-\frac{\pi}{8}\)

Espero ter ajudado!