Semicircunferência

[danjr5]

Olá,

Gostaria de saber como resolvo esse problema. Não precisa resolver, somente me diga como devo fazer. Qual o caminho devo seguir.

Como não consigo transcrever a questão aqui no fórum, coloco o endereço do meu blog para que você possa visualizar com mais clareza.

http://nilsongonsalves.blogspot.com.br/2013/01/nao-consigo-resolver-essa-questao.html


Agradeço desde já.

Anexos

COMO RESOLVER ESSA QUESTÃO.png (46.06 KiB) Visualizado 5347 vezes

Editado pela última vez por danjr5 em 24 fev 2013, 23:40, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[Fraol]

Olá, boa tarde.

Minha sugestão:

Desenhe um ponto O no meio do segmento AB. De O até A, ou de O até B, temos um raio da circunferência correspondente. Pois bem, de O até P também temos um raio.

Ora raios, se temos o raio e um ângulo QÔP em um triângulo retângulo QOP, então podemos estabelecer as relações seno e cosseno com as medidas dos catetos desse triângulo e depois entre o seno e o cosseno e vice-versa.

Qq dúvida manda de volta.

[João P. Ferreira]

Caro NiGoRi
Nunca envie ligações para os problemas, anexe sempre o problema caso seja necessário

caro fraol

Muito obrigado por mais esta contribuição

Abraços

[Fraol]

Obrigado João P. Ferreira, vamos aguardar o NiGoRi para ver se conseguimos ajudá-lo.

[].

[NiGoRi]

Olá.

Mesmo você ter me dado estas dicas, não consigo visualizar legal o que você me propôs.
Não consigo fazer as relações, pois não consegui montar o triângulo.
Sem querer abusar, tem como você me mostrar como faz isso?

[Fraol]

Boa tarde,

Ok. Vamos lá. Fiz uma figura auxiliar baseada nas informações que dispomos:

semi.png (8.61 KiB) Visualizado 5279 vezes

Veja que nessa figura temos Raio = R = 1cm pois o diâmetro é 2cm e, principalmente, a tangente do ângulo alfa é:

\(tg \alpha = \frac{y}{1-x}\) ou seja \(\frac{y}{1-x} = tg \alpha\).

Essa é a relação que temos entre \(y\) e \(x\). Daqui para frente, é mais uma questão de gosto do freguês (ou do professor!) pois podemos isolar o \(y\) ou \(x\) para escrever um em função do outro.

Obs: O ângulo alfa na figura irá variar à medida que você mover o ponto P, assim como \(y\) e \(x\) também variarão. Contudo a relação que levantamos permanecerá.

Se restar alguma dúvida manda de volta.

[David Andrade]

Ora bem, isto resolve-se bem se considerarmos dois triângulos retângulos, um de catetos x e y e o outro de catetos 2-x e y (se estiveres com problemas a visualizar os triângulos, diz). Digamos que, no primeiro dos triângulos, o ângulo oposto ao cateto que mede y é \(\alpha\). Tens que \(tg\alpha = \frac{y}{x}\). Por outro lado, ao considerares o segundo triângulo, o ângulo oposto a y mede \(90^o-\alpha\) (porquê?). Assim, \(tg(90^o-\alpha)=\frac{y}{2-x}\). Sabendo que \(tg(90^o-\alpha) = \frac{1}{tg\alpha}\) (porquê?), então tens que \(tg\alpha=\frac{2-x}{y}\). Logo, \(\frac{y}{x}=\frac{2-x}{y}\). Assim, como y>0, tens que \(y=\sqrt{2x-x^2}\).

[Fraol]

Muito boa a solução de David Andrade.

o ângulo oposto a y mede \(90^o-\alpha\) (porquê?)

Basta ver que o ângulo \(A\hat{P}B\) é de 90 graus (ângulo inscrito na semi-circunferência).

Sabendo que \(tg(90^o-\alpha) = \frac{1}{tg\alpha}\) (porquê?) .

Aqui desenvolve-se a relação \(\frac{sen(90^o-\alpha)}{cos(90^o-\alpha)}\) para obter a equivalência.

[David Andrade]

Muito boa a solução de David Andrade.

o ângulo oposto a y mede \(90^o-\alpha\) (porquê?)

Basta ver que o ângulo \(A\hat{P}B\) é de 90 graus (ângulo inscrito na semi-circunferência).

Sabendo que \(tg(90^o-\alpha) = \frac{1}{tg\alpha}\) (porquê?) .

Aqui desenvolve-se a relação \(\frac{sen(90^o-\alpha)}{cos(90^o-\alpha)}\) para obter a equivalência.

Isso mesmo! Ao princípio, para descobrir \(tg(90^o-\alpha)\) pensei em utilizar a fórmula para a tangente da soma, mas depois lembrei-me de que \(tg90^o\) não está definido... Então utilizei a relação do seno com o cosseno! Apenas não quis escrever como descobrir \(tg(90^o-\alpha)\) porque isso deve ser um exercício para cada um de nós.

Bom trabalho e espero que tenha feito entender a solução a NiGoRi!

[NiGoRi]

O resultado desse problema eu sei que é y^2=2x-x^2, mas não tô conseguindo ver, nitidamente, essa relação no desenho que você me mostrou. Tem como me ajudar?