menor distância de um ponto aos vértices de um quadrilátero

[Walter R]

Dado um quadrilátero convexo qualquer ABCD, encontre o ponto X tal que a distância AX+BX+CX+DX seja a menor possível.

Obs> parece-me que este ponto seria o ponto O resultante do cruzamento das diagonais, mas não consegui prová-lo. De qualquer forma, sei que é possível provar a hipótese, apenas utilizando-se dos teoremas e axiomas da geometria euclidiana.

[Rui Carpentier]

Pode ser demonstrado usando a desigualdade triangular: \(|AX|+|CX|\geq |AC|\) e \(|BX|+|DX|\geq |BD|\). Logo a soma das distâncias de X a A, B, C e D é maior ou igual que a soma dos comprimentos das diagonais (i.e. \(|AX|+|BX|+|CX|+|DX|\geq |AC|+|BD|\)), sendo uma igualdade se X for colinear a A e C e a B e D (ou seja, se X for a intersecção das diagonais).