geometria analítica

[fjsmat]

considere a circunferência de equação x² + y² = 25 e o feixe de retas y = x + n, n natural e n≤ 10. Quantas retas desse feixe NÃO interceptam a circunferência?

desde já agradeço
fjsmat

[Sobolev]

Pode resolver esta questão de forma completamente analítica. Os pontos de intercepção entre a recta e a circunferência são as soluções do sistema
\(x^2+y^2 = 25
y = x + n\)

Teremos pois,

\(x^2+(x+n)^2 = 25 \Leftrightarrow 2x^2 + 2nx + (n^2-25) = 0\)

Esta equação do segundo grau não tem soluções reais se e só se o discriminante for negativo, i.e.

\((2n)^2 - 4 \times a \times (n^2-25) < 0 \Leftrightarrow 50 - n^2 < 0 \Leftrightarrow n > \sqrt{50} \vee n< - \sqrt{50}\)

Recordando que n é um inteiro menor ou igual que 10, vemos que as condições anteriores são satisfeitas para n=8,9,10.