Duvidas em algumas questões de geometria analítica.

[sphinx]

Boa tarde pessoal, estou com duvida em algumas questões de geometria analítica, se puderem me ajudar a resolve-las, desde já agradeço.

1) Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos A(2.3), B(9,4) e M(5,k). Determine o valor de k para o qual o ângulo BAM=45º
2) Dados os pontos A(3,0), B(1,0) e C(4+√3, 1+√3) calcular os ângulos internos do triângulo ABC
3) Conduzir por P(0,0) as retas que formam ângulo Φ= π/4 com r: 6x+2y-3=0
4) Determinar a reta s, simétrica de r: x-y+1=0 em relação a t: 2x+y+4=0
5) Os valores de m e k para os quais a equação mx²+y²+4x-6y+k=0 represente uma circunferência

[João Torgal]

Seguem, para já, algumas ideias para a resolução do 1, 2 e 5:

1. Construir os vectores \(\underset{AB}{\rightarrow} e \underset{AM}{\rightarrow}\) e, aplicando a fórmula do produto escalar, calculando as normas e cos (45º), estabelecer uma equação que permita determinar k.

2. Por exemplo, para determinar Â: determinar de forma cartesiana o produto escalar \(\underset{AB}{\rightarrow}.\underset{AC}{\rightarrow}\). Depois, aplicando a fórmula do produto escalar relacionada com as normas e com o ângulos entre vectores, descobrir o ângulo.

5. m = 1. Completando os quadrados em x e em y, vem \((x+2)^2 + (y-3)^2 = -k +4+9\). Logo, -k+4+9 >0 e portanto k<13.

[João Torgal]

Em relação ao 3, julgo que se poderá fazer assim

m' = -3 e marquemos essa recta no referencial. Relacionando declive e inclinação (m' = tg. \(\Theta\), descobre-se \(\Theta\). Vão existir duas rectas da forma y = mx a fazerem um ângulo de 45º com a recta r. Uma terá de inclinação 45º + \(\Theta\)
e a outra -45º + \(\Theta\)
(se marcarmos estas rectas no referencial e construirmos triângulos com segmentos das rectas e o eixo do x é possível confirmar estes dados). Relacionando agora novamente declive e inclinação, é possível obter os declives das rectas pretendidas.