Descreva, por meio de uma equacão envolvendo as coordenadas x e y o conjunto dos pontos que equidistam da reta x+y=1

[vinipro7]

Descreva, por meio de uma equacão envolvendo as coordenadas x e y o conjunto dos pontos que
equidistam da reta x + y = 1 e do ponto (1; 1). Classique o conjunto obtido.

[Fraol]

Boa noite,

O conjunto dos pontos que equidistam de um um ponto e uma reta dados é uma parábola. Neste caso o ponto dado é o foco da parábola e a reta dada é a diretriz da parábola.

Então seja a reta \(r: x + y = 1\) então \(r: x + y - 1 = 0\), e \(a=1, b=1, c=-1\).

Seja \(P=(1,1)\) o ponto dado e seja Q=(x,y) um ponto genérico pertencente ao conjunto (da parábola), então temos:

A distância entre esse ponto \(Q\) e o ponto \(P\) é dada por: \(d_{QP} = \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\).

A distância entre esse ponto \(Q\) e a reta \(r\) é dada por: \(d_{Qr} = \left| \frac{a \cdot x + b \cdot y + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|\).

Agora você pode igualar essas duas distâncias, fazer as substituições e desenvolver para encontrar a equação do lugar geométrico pedido ( que como já foi dito é uma parábola ).