artimética

[Leitão]

Cinco pontos de um círculo estão numerados consecutivamente e no sentido do movimento dos ponteiros do relógio com os numeros 1,2,3,4 e 5. Uma pulga safada pula de um ponto a outro no sentido em que estão marcados da seguinte forma : Se ela está sobre um ponto de numero impar ela se move um ponto, e se ela estiver sobre um ponto de numero par, ela move dois pontos. Se a pulga safada começa no ponto 5, após 2005 pulos ela estará no ponto ?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

[danjr5]

Após dar o primeiro pulo, a pulga safada estará no ponto 1;
No segundo, ela estará no ponto 2;
Terceiro, ponto 4, pois, ela move dois pontos no círculo par;
(...)

Veja o esquema:

1º ====> ponto 1
2º ====> ponto 2
3º ====> ponto 4
4º ====> ponto 1
5º ====> ponto 2
6º ====> ponto 4
7º ====> ponto 1
8º ====> ponto 2
9º ====> ponto 4
10º ====> ponto 1
11º ====> ponto 2
12º ====> ponto 4
13º ====> ponto 1
...

Escolhendo o ponto 1, aplicamos uma P.A e encontramos a quantidade de pulos dados por volta de 2000.

\(\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 4 \\ r = 3 \\ a_n = \\ n = \end{cases}\)

\(a_n = a_1 + (n - 1)r\)

\(a_n = 1 + (n - 1)3\)

\(a_n = 3n + 1 - 3\)

\(a_n = 3n - 2\)

Se fizermos \(a_n = 2000\), \(n\) não será um inteiro positivo e isso não nos convém;

Se fizermos \(a_n = 2001\), também não será;

\(a_n = 2002\), também não; última forma, esse serve sim! [risos].

Continuemos, embora não seja necessário, pois já descobrimos que se \(a_n = 2002\) a divisão é exata. Portanto, no 2002° pulo ela está no ponto 1!!

\(a_n = 3n - 2\)

\(2002 = 3n - 2\)

\(3n = 2004\)

\(n = 668\)


Por fim,

...
2002º ====> ponto 1
2003º ====> ponto 2
2004º ====> ponto 4
\(\fbox{\fbox{2005^o \Rightarrow \text{ponto 1}}}\)