Formulas duplicação trignometricas

[faassf]

Boa noite

Alguém me pode ajudar a resolver um exercicio:

"Sabendo que Tan x =4 e que cos x <0 calcule:

cos (2x) e sin (2x)"

Tentei desdobrar tangente em sen/cos mas não resolvi nada. Preciso de orientação.

Obrigada

[Sobolev]

\(1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2x}\)

Como tan x = 4 podemos concluir que

\(\cos^2 x = \frac{1}{17}\)

pelo que

\(\sin^2 x = 1-\cos^2 x = \frac{16}{17}\)

Como cos x > 0 (dado do problema) temos que \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{17}}\). Por outro como tan x =4 >0 e cos x >0 também temos sin x >0, pelo que \(\sin x = \frac{4}{\sqrt{17}}\).

Finalmente,

\(\sin (2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \frac{4}{\sqrt{17}} \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{8}{17}\)

\(\cos (2x) = \cos^2 x- \sin^2 x = \frac{1}{16} - \frac{16}{17} = -\frac{15}{17}\)