Distância entre corda e arco de uma circunferência.

[henrique_ep]

Eu tenho apenas o comprimento de uma corda e um arco de uma circunferência (corda=10; arco=11), tem como saber a distância entre o centro da corda e o arco?

Quero usar pra calcular o quanto baixa um fio de alta tensão, depois de dilatar.
Até que ponto esse fio forma um arco de circunferência, e não de elipse?

Imagem de um rascunho.

[Fraol]

Boa noite,


Uma curiosidade, qual é a unidade de medida do arco e da corda?

[Fraol]

Não lembro de nenhuma relação entre arco e corda diretamente. Se algum outro participante do forum souber, por favor poste aqui pra gente conhecer.

De qualquer forma sem saber o raio, pode-se aproximar pensando em algo como:

Se em vez de um arco tivéssemos dois segmentos iguais somando 11 então um segmento mediria 5,5 então a sua medida h'=r-h seria um cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 5,5 e outro cateto 5 então h' seria aproximadamente 2,29 que é o maior valor possível para h' (supondo as duas metades do arco totalmente esticadas). Mas um arco não é assim (com duas metades esticadas) então h' é menor do que 2,29. Eu fiz uma experiência para encontrar esse arco medindo 11 e encontrei h' aproximado de 1,97.

Veja a figura a seguir com uma corda medindo 10 e arco medindo 11.

arco.png (8.39 KiB) Visualizado 3095 vezes

[henrique_ep]

Medidas em metro.

[Fraol]

Então nesse caso específico o h' seria 1,97m.

[henrique_ep]

To achando que essa questão só dá pra resolver em plano cartesiano pela distância entre a corda e reta tangente no vértice do arco, mas obrigado pela ajuda!

[Rui Carpentier]

Não lembro de nenhuma relação entre arco e corda diretamente.

Mas existe, ambos estão relacionados com o ângulo. Pegando no gráfico dado, sendo \(\theta\) metade do ângulo associado ao arco \(AB\) temos que este é \(2\theta r\) onde \(r\) é o raio da circunferência e o ângulo é medido em radianos. Por outro lado, o comprimento da corda c é dado por \(2\mbox{sen}(\theta )r\). E aquilo que nos é pedido é \(r-h\) onde \(h=\cos (\theta )r\). Agora é só fazer umas contas para determinar

\(r-h=(1-\cos\theta )r\)

sabendo que

\(2\mbox{sen}(\theta )r= 10\) e \(2\theta r=11\)

PS- Provavelmente tal só é possível invertendo a função \(sinc(x)=\frac{\sin x}{x}\) o torna o problema mais complexo do que estava a pensar. Mas pode ser que haja outro modo.

[Fraol]

Boa tarde,

Obrigado por participar da discussão caro Rui Carpentier,

De qualquer forma como o henrique_ep informou que só tem a corda e o arco, ou seja não temos o ângulo ou o raio ou a excentricidade, etc. é melhor então fazer algumas medidas experimentais e tentar modelar uma função aproximada para trabalhar com previsões.

To achando que essa questão só dá pra resolver em plano cartesiano pela distância entre a corda e reta tangente no vértice do arco, mas obrigado pela ajuda!

Se você tiver a a tangente, que seria horizontal nesse caso, sim você teria a distância mas precisaria de alguma relação entre a corda e o arco, ou uma função aproximada do arco para derivar ...

Se encontrar algo e quiser compartilhar, por favor, manda pra gente.