Geometria 10º ano - coroa circular e corda
24 jun 2013, 19:05
Re: Geometria 10º ano - coroa circular e corda
24 jun 2013, 22:31
Olá, boa noite,
Se chamarmos de \(R\) o raio da circunferência maior e \(r\) o raio da circunferência menor, então a área da coroa circular é:
\((R^2 - r^2) \pi = 16 \pi \Rightarrow R^2 = 16 - r^2\).
Se você chamar a metade de AB de \(x\), então por Pitágoras temos:
\(x^2 + r^2 = R^2\)
Agora é substituir o \(R^2\) da 1a. expressão nessa última e encontrar x. Como x é a metade de AB então \(\bar{AB} = 2x\) e concluir o exercício.
Qualquer dúvida manda de volta pra gente.
Se chamarmos de \(R\) o raio da circunferência maior e \(r\) o raio da circunferência menor, então a área da coroa circular é:
\((R^2 - r^2) \pi = 16 \pi \Rightarrow R^2 = 16 - r^2\).
Se você chamar a metade de AB de \(x\), então por Pitágoras temos:
\(x^2 + r^2 = R^2\)
Agora é substituir o \(R^2\) da 1a. expressão nessa última e encontrar x. Como x é a metade de AB então \(\bar{AB} = 2x\) e concluir o exercício.
Qualquer dúvida manda de volta pra gente.
Re: Geometria 10º ano - coroa circular e corda
25 jun 2013, 00:32
Carla Escreveu:A área da coroa circular representada na figura é 16 \(\pi\) cm2. (AB) é uma corda da circunferência exterior, tangente à circunferência interior. Sabendo que a circunferência interior tem raio igual a 3 cm, determine o comprimento da corda (AB).
Vou pegar uma carona do mestre Fraol e desenvolver para ver se eu aprendo também.
Veja que, em seu desenho, você já encontrou as pistas, no esboço do triângulo interno às circunferências.
A coroa é a diferença entre duas circunferências.
Como sabemos a área dessa zona intermediária podemos dizer que para se obter a área do círculo externo devemos somar a área do círculo interno à área desta zona intermediária.
\(A_e = A_i + 16 \pi cm^2\)
A área do círculo interno podemos calcular facilmente, por ser
\(A_i = \pi \times r_i^2\)
Então, a área do círculo interno é
\(A_i = \pi \times 3^2 = 9 \pi cm^2\)
Voltando, a área do círculo externo é
\(A_e = 9\pi cm^2 + 16 \pi cm^2 = 25 \pi cm^2\)
Agora podemos saber o raio da circunferência externa, usando a mesma fórmula da área do círculo.
Dizendo que o raio da circunferência externa é \(r_e\), temos
\(\pi r_e ^2 = 25 \pi cm^2\)
e
\(r_e = {\sqrt{\frac{{25 \pi cm^2}}{\pi}} = 5cm\)
Isto tudo foi feito apenas para descobrir o raio da circunferência externa. Por quê? Porque este raio é a hipotenusa do triângulo que você esboçou.
Nesse mesmo triângulo, a base é o raio interno, de 3cm, dado pelo problema.
Veja que seu problema praticamente foi resolvido, pois o cateto que se alinha com o segmento AB pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras.
Então, por ele, o raio da circunferência externa (ao quadrado) terá de ser igual à soma dos quadrados do raio da circunferência interna com o quadrado do cateto alinhado. Vamos chamar a este cateto de comprimento desconhecido de 'a':
\(r_e^2 = r_i^2 + a^2\)
Assim,
\(25cm^2 = 3^2cm^2+a^2cm^2\)
'Algebrando':
\(a^2cm^2 = 16cm^2\)
e
\(acm = \sqrt{16cm^2} = 4cm\)
Ora, o cateto 'a' é a metade do segmento AB,
\(AB= 2 \times a = 2 \times 4cm = 8cm\)
Abração
Mauro
Re: Geometria 10º ano - coroa circular e corda
25 jun 2013, 00:54
Boas Mauro,
Sua resposta está correta. E lá vai um errata. O sinal é + no segundo membro da minha primeira expressão, o correto é \(R^2 = 16 + r^2\).
Sua resposta está correta. E lá vai um errata. O sinal é + no segundo membro da minha primeira expressão, o correto é \(R^2 = 16 + r^2\).
Re: Geometria 10º ano - coroa circular e corda
25 jun 2013, 01:53
fraol Escreveu:Boas Mauro,
Sua resposta está correta. E lá vai um errata. O sinal é + no segundo membro da minha primeira expressão, o correto é \(R^2 = 16 + r^2\).
Obrigado pela verificação, Fraol.
Abração
Mauro