Abscissa em ponto de intersecção
08 jul 2013, 20:02
Questão nº 1 da prova da EsPCEx de 2012:
Resposta: -2
Como chegou a isso?
Considere a circunferência \(\left ( \lambda \right ) x^2+y^2-4x=0\) e o ponto P \(\left (1, \sqrt{3} \right )\). Se a reta t é tangente a λ no
ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é:
Resposta: -2
Como chegou a isso?
Editado pela última vez por rafaelgtmbin em 09 jul 2013, 02:20, num total de 2 vezes.
Re: Abscissa em ponto de intersecção
09 jul 2013, 01:27
Rafael,
completemos quadrado...
\(\\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \\ (x^2 - 4x) + y^2 = 0 \\ (x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0 \\ \fbox{(x - 2)^2 + y^2 = 4}\)
Devemos encontrar a equação da reta \(t\).
Determinamos a equação da reta que passa pelo ponto \(P\) aplicando a seguinte fórmula: \(y - y_o = m(x - x_o)\).
\(\\ y - y_o = m(x - x_o) \\ y - \sqrt{3} = m(x - 1) \\ y = \sqrt{3} + mx - m\)
Sabemos que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale \(- 1\), então:
\(m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1\)
Encontramos \(m_{PC}\) fazendo...
\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)
Agora,
\(\\ m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1 \\ - \sqrt{3} \cdot m_{reta} = - 1 \\ m_{reta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \fbox{m_{reta} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Logo, a equação da reta \(t\) é:
\(\\ y = \sqrt{3} + mx - m \\ y = \sqrt{3} + \frac{x\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \fbox{y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
O eixo horizontal é obtido fazendo \(y = 0\), ou seja, \(y\) é fixo e vale ZERO!
Então, resta-nos substituir \(y\) por zero na equação da reta \(t\).
Permitirei que termine!!
Espero ter ajudado!
Att,
Daniel F.
completemos quadrado...
\(\\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \\ (x^2 - 4x) + y^2 = 0 \\ (x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0 \\ \fbox{(x - 2)^2 + y^2 = 4}\)
Devemos encontrar a equação da reta \(t\).
Determinamos a equação da reta que passa pelo ponto \(P\) aplicando a seguinte fórmula: \(y - y_o = m(x - x_o)\).
\(\\ y - y_o = m(x - x_o) \\ y - \sqrt{3} = m(x - 1) \\ y = \sqrt{3} + mx - m\)
Sabemos que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale \(- 1\), então:
\(m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1\)
Encontramos \(m_{PC}\) fazendo...
\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)
Agora,
\(\\ m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1 \\ - \sqrt{3} \cdot m_{reta} = - 1 \\ m_{reta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \fbox{m_{reta} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Logo, a equação da reta \(t\) é:
\(\\ y = \sqrt{3} + mx - m \\ y = \sqrt{3} + \frac{x\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \fbox{y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
O eixo horizontal é obtido fazendo \(y = 0\), ou seja, \(y\) é fixo e vale ZERO!
Então, resta-nos substituir \(y\) por zero na equação da reta \(t\).
Permitirei que termine!!
Espero ter ajudado!
Att,
Daniel F.
Re: Abscissa em ponto de intersecção
09 jul 2013, 02:39
Olá Daniel
Puts, valeu muito mesmo por ajudar. Acho meio que muito errado esse tipo de questão ser aplicada em uma prova que o requerido é o nível médio de ensino. Não vi isso na escola pública que estudei, e alguns amigos meus que estudaram em particulares não tiveram também.
Então, gostaria que você me esclarecesse essa dúvida, se possível:
\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)
sei que
\(m_{ } = \tan \alpha = \frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}\)
gostaria que você me explicasse de onde você pegou esse 2 para o \(x_{b}\), uma vez que é o valor que estamos buscando.
continuando a conta, eu achei:
\(\frac {x \sqrt{3}}{3}+ \frac {2 \sqrt{3}}{3} = 0\)
\(x \sqrt{3}+ 2 \sqrt{3} = 0\)
\(\sqrt{3}\left ( x+2 \right ) = 0\)
\(x+2 = \frac {0}{\sqrt{3}}\)
\(x+2 = 0\)
\(x = -2\)
Realmente muito obrigado!
Puts, valeu muito mesmo por ajudar. Acho meio que muito errado esse tipo de questão ser aplicada em uma prova que o requerido é o nível médio de ensino. Não vi isso na escola pública que estudei, e alguns amigos meus que estudaram em particulares não tiveram também.
Então, gostaria que você me esclarecesse essa dúvida, se possível:
\(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\)
sei que
\(m_{ } = \tan \alpha = \frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}\)
gostaria que você me explicasse de onde você pegou esse 2 para o \(x_{b}\), uma vez que é o valor que estamos buscando.
continuando a conta, eu achei:
\(\frac {x \sqrt{3}}{3}+ \frac {2 \sqrt{3}}{3} = 0\)
\(x \sqrt{3}+ 2 \sqrt{3} = 0\)
\(\sqrt{3}\left ( x+2 \right ) = 0\)
\(x+2 = \frac {0}{\sqrt{3}}\)
\(x+2 = 0\)
\(x = -2\)
Realmente muito obrigado!
Re: Abscissa em ponto de intersecção [resolvida]
09 jul 2013, 03:06
Rafael, é o centro da circunferência \((x - 2)^2 + y^2 = 4\)
\((x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 4 \rightarrow \fbox{C = (2, 0)}\)
Não há de quê! E, também continue ajudando quando souber.
Att,
Daniel F.
\((x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 4 \rightarrow \fbox{C = (2, 0)}\)
Não há de quê! E, também continue ajudando quando souber.
Att,
Daniel F.