Soma das tangentes de dois arcos
10 jul 2013, 20:20
Questão nº 19 da prova da EsPCEx de 2012
Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) é?
Resposta: \(2-\sqrt{3}\)
Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) é?
Resposta: \(2-\sqrt{3}\)
- Anexos
-
- 03.png (6.18 KiB) Visualizado 16099 vezes
Re: Soma das tangentes de dois arcos [resolvida]
10 jul 2013, 21:22
Com base nos valores dados eu consegui a seguinte resolução:
Primeiramente achar o valor do valor excedente de 90º dos ângulos de α e β, com base nos senos dos triângulos dados
Pra α, temos que achar o cateto oposto primeiro, uso Pitágoras:
\(hip^2 = Cad^2+Cop^2\)
\(1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2+Cop^2\)
\(1 = \frac{2}{4}+Cop^2\)
\(Cop^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(Cop=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Então acho o seno:
\(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
E o ângulo através do arco seno:
\(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 45\)
logo, achei 135º para α
-----------------------------------------------------------------------
Para β eu já tenho o cateto oposto, então só preciso do seno e do arco seno:
\(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}\)
\(\arcsin \frac{1}{2} = 30\)
240º para β (medido pelo sentido positivo: 180º + 60º)
-------------------------------------------
Como ambos foram medidos no sentido positivo, bastava somar as tangentes, mas:
\(R= \tan 135 + \tan 240\)
\(R= (-1) + (\sqrt{3})\)
\(R = -1+\sqrt{3}\)
Aonde estou errando?
==========================================================================================================
editado
descobri, o erro era de interpretação
a conta pede tg (α + β) e não tg α + tg β
logo, teria tg 375 = 0,267949192 = \(2-\sqrt{3}\)
é meio pedir demais saber converter esse valor :x
Primeiramente achar o valor do valor excedente de 90º dos ângulos de α e β, com base nos senos dos triângulos dados
Pra α, temos que achar o cateto oposto primeiro, uso Pitágoras:
\(hip^2 = Cad^2+Cop^2\)
\(1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2+Cop^2\)
\(1 = \frac{2}{4}+Cop^2\)
\(Cop^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(Cop=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Então acho o seno:
\(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
E o ângulo através do arco seno:
\(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 45\)
logo, achei 135º para α
-----------------------------------------------------------------------
Para β eu já tenho o cateto oposto, então só preciso do seno e do arco seno:
\(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}\)
\(\arcsin \frac{1}{2} = 30\)
240º para β (medido pelo sentido positivo: 180º + 60º)
-------------------------------------------
Como ambos foram medidos no sentido positivo, bastava somar as tangentes, mas:
\(R= \tan 135 + \tan 240\)
\(R= (-1) + (\sqrt{3})\)
\(R = -1+\sqrt{3}\)
Aonde estou errando?
==========================================================================================================
editado
descobri, o erro era de interpretação
a conta pede tg (α + β) e não tg α + tg β
logo, teria tg 375 = 0,267949192 = \(2-\sqrt{3}\)
é meio pedir demais saber converter esse valor :x