Questão de Concurso Sobre Triângulo Retângulo

[FredFreitas]

Boa tarde,
Prestei um concurso nesse domingo e acredito que uma das questões de matemática deveria ser anulada. Por favor, vejam se estou correto.

32- Considerando que as medidas dos lados de um triângulo retângulo são diretamente proporcionais a 5, 7 e 4 e que sua área é igual a 40 cm2, o perímetro dessa figura, em centímetros, será:
a)16
b)20
c)64
d)48
e)32

No gabarito a resposta dada é 32, pois os lados seriam: 8, 10 e 14. Sendo 8 e 10 os catetos e 14 a hipotenusa. Até aí, beleza. Pois a área estaria certa: (8x10)/2=40. Porém uma coisa que muita gente não percebeu é que isso não forma um triângulo retângulo!!! A fórmula mais conhecida é: soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Porém se aplicarmos isso nesses lados, dá errado. 14²=10²+8² tá errado, pois ficaria: 196=164... portanto um triângulo com lados de 8, 10 e 14 não é triângulo retângulo. Concordam?

Obrigado desde já!

[danjr5]

Seja bem-vindo meu caro - FredFreitas!

Sabendo que a hipotenusa é sempre maior que qualquer um dos catetos, podemos concluir que a hipotenusa pode ser dada por \(\fbox{a = 7k}\). Por conseguinte, os outros catetos serão \(\fbox{b = 5k}\) e \(\fbox{c = 4k}\).

Uma das formas de obter a área do triângulo em questão é aplicando a seguinte fórmula: \(S = \frac{b \cdot c}{2}\).

Com isso,

\(S = \frac{b \cdot c}{2}\)

\(40 = \frac{5k \cdot 4k}{2}\)

\(20k^2 = 80\)

\(k^2 = \frac{80}{20}\)

\(k^2 = 4\)

\(\fbox{k = 2}\)


Por fim,

\(2p = a + b + c\)

\(2p = 7k + 5k + 4k\)

\(2p = 16k\)

\(2p = 16 \cdot 2\)

\(\fbox{\fbox{2p = 32\;\;\text{cm}}}\)


Sua observação é pertinente! Ao seu comentário chamo a atenção para o fato de 5, 7 e 4 também não formarem um triângulo retângulo.

[FredFreitas]

Opa! Muito obrigado pela confirmação, Daniel!
Quando estava fazendo a prova, cheguei a esse resultado também, 32. Porém quando fui fazer a condição de existência desse triângulo, vi que não batia.

Valeu!