Trigonometria no triângulo retângulo

[trigonometria]

Um triângulo retângulo tem hipotenusa de comprimento \(h\), a medida de um de seus ângulos é \(30^{o}\) e o perímetro desse triângulo mede \(3(3+\sqrt{3})\).
Nessas condições, h é um número:

a) multiplo de \(7\)
b) multiplo de \(5\)
c) primo
d) par
e) maior que \(8\)

[Eduardo Fernandes]

Boa noite, trigonometria!

Neste problema a hipotenusa será 6 logo será a respota d), ou seja, par.

De seguida irei apresentar a solução.

Considerando dois catetos com medidas a e b e a hipotenusa medir h podemos afirmar que o perímetro é:

\(P=a+b+h \Rightarrow\) \(3(sqrt{3}+3)=a+b+c\)

Sabemos ainda que:

\(a+b=h \cos(30)+h sen(30)\)

Logo:

\(hcos(30)+hsen(30)+h=3(sqrt{3}+3) \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow h=\frac{3(sqrt{3}+3)}{cos(30)+sen(30)+1}\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow h=\frac{3(sqrt{3}+3)}{\frac{sqrt{3}+3}{2}}\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow h= 6\)

Espero ter ajudado
Se tiveres alguma dúvida não hesites
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes

[Mauro]

Um triângulo retângulo tem hipotenusa de comprimento \(h\), a medida de um de seus ângulos é \(30^{o}\) e o perímetro desse triângulo mede \(3(3+\sqrt{3})\).
Nessas condições, h é um número:

a) multiplo de \(7\)
b) multiplo de \(5\)
c) primo
d) par
e) maior que \(8\)

Apenas para colaborar, fiz ligeiramente diferente, mas o método desenvolvido pelo amigo Eduardo Fernandes é mais conciso e elegante.

Chamando de 'a' o cateto oposto ao ângulo de 30 e de 'b' o cateto adjacente, temos que

\(a=h \times sen(30)=\frac{h}{2}\)

\(b=h \times cos(30)=h \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Logo,

\(h + \frac{h}{2} +\frac{h\sqrt{3}}{2}=3(3+\sqrt{3})\)

\(2h + h +h\sqrt{3}=6(3+\sqrt{3})\)

\(h(3+\sqrt{3})=6(3+\sqrt{3})\)

\(h = 6\)

Então, a resposta é a letra 'd'

Abração
Mauro