Encontrar a área e o volume de um cone circular reto (ITA-SP 2012)
10 set 2013, 22:54
A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º e área igual a:
\(3\pi cm^2\)
A área total e o volume deste cone medem?
.:Minha resolução e visão do problema:.
Primeiramente, entendo um cone circular reto como aquele em que o encontro entre o eixo e a base forma um ângulo reto.
Em anexo, desenhei o problema como consegui interpretá-lo.
Para encontrarmos a superfície lateral do cone, basta fazermos uma igualdade de razões(proporção).
A razão entre a área do círculo e o ângulo do círculo(360º) é igual a razão entre a área do setor circular e o ângulo do setor circular(120)º. Também, como o ângulo do setor circular é 3 vezes menor, conclui-se que a área do setor circular é 3 vezes menor que a área do círculo.
Como já temos o valor, é conveniente utilizá-lo a fim de encontrar o raio do círculo(geratriz do cone).
\(A_{L}=\pi rg\)
\(3\pi cm^2=\pi rg\)
\(3cm^2=rg\)
Ainda sabemos que a área do setor circular é igual a área lateral do cone. Podemos usar as relações da superfície circular.
\(\frac{\pi r^2}{360}=\frac{A_{L}}{120}\)
\(A_{L}=\frac{\pi r^2}{3}\)
\(3\pi cm^2=\frac{\pi r^2}{3}\)
\(r^2=9cm^2\)
\(r=3cm\)
Porém
\(3cm^2=rg\)
\(3cm^2=3cm.g\)
\(g=1cm\)
Se o raio do círculo e a geratriz possuem o mesmo valor, como encontrei esses valores? Onde errei? Não consigo desenvolver o exercício.
Grato.
\(3\pi cm^2\)
A área total e o volume deste cone medem?
.:Minha resolução e visão do problema:.
Primeiramente, entendo um cone circular reto como aquele em que o encontro entre o eixo e a base forma um ângulo reto.
Em anexo, desenhei o problema como consegui interpretá-lo.
Para encontrarmos a superfície lateral do cone, basta fazermos uma igualdade de razões(proporção).
A razão entre a área do círculo e o ângulo do círculo(360º) é igual a razão entre a área do setor circular e o ângulo do setor circular(120)º. Também, como o ângulo do setor circular é 3 vezes menor, conclui-se que a área do setor circular é 3 vezes menor que a área do círculo.
Como já temos o valor, é conveniente utilizá-lo a fim de encontrar o raio do círculo(geratriz do cone).
\(A_{L}=\pi rg\)
\(3\pi cm^2=\pi rg\)
\(3cm^2=rg\)
Ainda sabemos que a área do setor circular é igual a área lateral do cone. Podemos usar as relações da superfície circular.
\(\frac{\pi r^2}{360}=\frac{A_{L}}{120}\)
\(A_{L}=\frac{\pi r^2}{3}\)
\(3\pi cm^2=\frac{\pi r^2}{3}\)
\(r^2=9cm^2\)
\(r=3cm\)
Porém
\(3cm^2=rg\)
\(3cm^2=3cm.g\)
\(g=1cm\)
Se o raio do círculo e a geratriz possuem o mesmo valor, como encontrei esses valores? Onde errei? Não consigo desenvolver o exercício.
Grato.
- Anexos
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Re: Encontrar a área e o volume de um cone circular reto (ITA-SP 2012)
12 set 2013, 18:58
Olá!
Vê a minha resolução, penso que é isto:
\(2\pi \rightarrow 360^o\\ x\rightarrow 120^o\\ x=\frac{2\pi }{3}= \alpha\)
\(A=g^{2}.\alpha \Leftrightarrow g= \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(A= l.g^2 \Leftrightarrow 3\pi=l.\frac{9}{2} \Leftrightarrow l=\frac{6\pi}{9}=\frac{2\pi}{3}\\ l=\frac{2\pi}{3}=2\pi r \Leftrightarrow r=\frac{1}{3}\\ \\ g^2= h^2+r^2\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{79}}{\sqrt{18}}\\\)
Depois é só substituir nas expressões:
\(A_{Tcone}=A_{LateralCone}+A_{BaseCone}= \left ( \pi.r.g \right )+\left ( \pi.r^{2} \right )\\ \\ V_{cone}= \frac{1}{3}\pi r^2.h\\\)
Vê a minha resolução, penso que é isto:
\(2\pi \rightarrow 360^o\\ x\rightarrow 120^o\\ x=\frac{2\pi }{3}= \alpha\)
\(A=g^{2}.\alpha \Leftrightarrow g= \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(A= l.g^2 \Leftrightarrow 3\pi=l.\frac{9}{2} \Leftrightarrow l=\frac{6\pi}{9}=\frac{2\pi}{3}\\ l=\frac{2\pi}{3}=2\pi r \Leftrightarrow r=\frac{1}{3}\\ \\ g^2= h^2+r^2\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{79}}{\sqrt{18}}\\\)
Depois é só substituir nas expressões:
\(A_{Tcone}=A_{LateralCone}+A_{BaseCone}= \left ( \pi.r.g \right )+\left ( \pi.r^{2} \right )\\ \\ V_{cone}= \frac{1}{3}\pi r^2.h\\\)
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