Geometria Espacial

[Lilico]

Um cone circular reto teve sua altura aumentada e seu raio da base diminuído de um mesmo valor x, de maneira que seu volume permaneceu constante. Determine o valor de x, sabendo que: Volume do cone = Area da base.altura/3.

[aisilva]

Uma vez que não são indicados valores para a base e a altura do cone, vou resolver o exercício em função do raio da base, r, e da altura do cone inicial h. Assim sendo, o volume do cone inicial é V_inicial= A_base.h/3 ou seja, V_inicial= ∏.r².h/3.

Por sua vez, o volume do cone final será V_final= ∏.(r-x/2)².(h+x)/3, uma vez que o diâmetro da base é reduzido de x e a altura aumentada de x.

O passo seguinte é igualar as expressões do volume do cone inicial e do volume do cone final e resolver em ordem a x, ou seja:

∏.r².h/3=∏.(r-x/2)².(h+x)/3

reorganizando os termos e simplificando um pouco a expressão obtém-se:

\(\frac{1}{4}x^{3}+(\frac{h}{4}-r)x^{2}+(r^{2}-rh)x=0\)

o que resolvendo e aplicando a fórmula resolvente vai dar:

x=0 ⋁ \(x=2[-(\frac{h}{4}-r)\pm \sqrt{\frac{h^{2}}{16}+\frac{h}{2}r}]\)

Para um cone concreto é só substituir os valores do raio da base e da altura do cone e verificar qual das soluções dá um número positivo (uma vez que estamos a falar de um volume.