Teorema de Pitágoras - Triângulo Rectângulo

[Karcaju]

Boa tarde,

Como ficaria a resolução do exercicio em baixo?

Se a e b são os catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa é 1 determine o maior valor de 2a+b.

Agradeço desde já a disponibilidade.

[Sobolev]

Boa tarde,

Se o valor da hipotenusa é 1 então \(\sqrt{a^2+b^2}=1\), o que é equivalente a ter \(a^2+b^2=1\). Assim, pretende-se determinar o máximo de \(f(a,b) = 2a + b\), sujeita à restrição \(a^2+b^2=1\). É um problema clássico de optimização condicionada, que pode ser tratado pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Os extermos condicionados de f serão pontos críticos de \(\mathcal{L}(a,b,\lambda) = 2a+b+\lambda(a^2+b^2)\).

Resolvendo o respectivo sistema de estacionaridade obtém \(a = 2/\sqrt{5},\quad b = 1/\sqrt{5}\).