Demonstração na soma das três medianas de um triângulo
28 jun 2012, 12:58
Mostre que a soma das medidas das três medianas de um triângulo é menor que o perímetro desses triângulo.
Re: TRIANGULO
29 jun 2012, 16:28
Boas
A mediana de um triângulo em relação ao lado 'a' (intereseta o meio do lado 'a') é dada por
\(m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }\)
onde 'b' e 'c' são os outros dois lados
Analogamente podemos dizer que:
\(m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }\)
\(m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }\)
Basta então demonstrar pela aritmética que
\(\sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }<a+b+c\)
Simplificando
\(\sqrt {2 b^2 + 2 c^2 - a^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 c^2 - b^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 b^2 - c^2 }<2a+2b+2c\)
Bem, agora terá de desenvolver...
Espero ter ajudado
Cumprimentos
PS: Regra 2 do fórum: Seja descritivo no assunto por favor
A mediana de um triângulo em relação ao lado 'a' (intereseta o meio do lado 'a') é dada por
\(m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }\)
onde 'b' e 'c' são os outros dois lados
Analogamente podemos dizer que:
\(m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }\)
\(m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }\)
Basta então demonstrar pela aritmética que
\(\sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }<a+b+c\)
Simplificando
\(\sqrt {2 b^2 + 2 c^2 - a^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 c^2 - b^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 b^2 - c^2 }<2a+2b+2c\)
Bem, agora terá de desenvolver...
Espero ter ajudado
Cumprimentos
PS: Regra 2 do fórum: Seja descritivo no assunto por favor
- Anexos
-
- Triangle.Centroid.png (4.29 KiB) Visualizado 3722 vezes