Conjunto de pelo menos tres retas distintas

[valenota100]

Considere um conjunto de pelo menos tres retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer

destas retas são concorrentes, entao elas estao todas num mesmo plano ou passam todas por

um mesmo ponto.

[Rui Carpentier]

Dadas duas retas distintas \(r_1\) e \(r_2\) concorrentes num ponto \(P\) estas definem um plano \(\pi\). Suponhamos que existe uma reta \(r_3\) que não passa por \(P\) então esta tem que estar no plano \(\pi\), caso contrário não seria* simultaneamente concorrente a \(r_1\) e \(r_2\). A existência de tal reta \(r_3\) também implica que qualquer outra reta terá que estar no plano \(\pi\) pois de outra forma não seria* concorrente simultaneamente a \(r_1\), \(r_2\) e \(r_3\).
Concluimos então que ou todas as retas estão no mesmo plano \(\pi\) ou passam pelo mesmo ponto \(P\).

* isto porque uma reta não incluída num plano intersecta este no máximo em um ponto apenas que teria que ser necessariamente \(P\) (o único ponto comum a \(r_1\) e \(r_2\)).