Menor Perímetro Possível

[Erosmsc]

Eu consigo resolver essa questão utilizando o macete de analisar as alternativas, agora se for uma questão discursiva já não consigo realizar os cálculos, como faço?

Em um curso, foi proposto aos alunos que confeccionassem uma cortina, na forma retangular, com 24 m² e com o menor perímetro possível. Quais as medidas (comprimento e altura) dessa cortina?

a) 0,5 m de altura e 48 m de comprimento.
b) 2 m de altura e 12 m de comprimento.
c) 1 m de altura e 24 m de comprimento.
d) 3 m de altura e 8 m de comprimento.
e) 4 m de altura e 6 m de comprimento.

Spoiler:

Gabarito: e;

[Sobolev]

Neste caso tem mesmo que calcular exaustivamente todas as alternativas apresentadas. Nenhuma das respostas fornecidas é a resposta óptima. O menor perímetro possível é obtido para uma cortina quadrada com \(2 \sqrt{6} \approx 4.89898 m\) de lado.

Nota:

Trata-se de um problema de pesquisa de minimizantes de uma função de uma variável. Se designarmos por x e y as medidas da cortina, sabemos que
\(xy = 24 \Leftrightarrow y = \frac{24}{x}.\)

Deste modo, vemos que o perímetro é dado por \(P = 2x + 2y = 2x +\frac{48}{x}\). Trata-se portanto de procurar o minimizante global desta função de x. Sendo uma função diferenciável definida num conjunto aberto (x>0), os seus extremantes apenas podem ocorrer em pontos onde a derivada se anule, isto é,

\(8 2x +\frac{48}{x})' = 0 \Leftrightarrow
2- \frac{48}{x^2} = 0 \Leftrightarrow
x = 2 \sqrt{6}\)

Devido à convexidade da função, este ponto é um minimizante global da função.

[Erosmsc]

Eu fiz esse cálculos também.
Se fosse um quadrado daria certo. Usando esse cálculos.

Muito Obrigado pela ajuda.