DUVIDA: sen(a) = sen(b)

[Danfergo]

Boas, pessoal.
Estou aqui com uma duvida que me está a deixar à toa.

sabendo que sen(a) = sen(b) podemos concluir que a=b V a=∏ - b ?

[João P. Ferreira]

É isso mesmo meu caro

Se \(sen(a)=sen(b)\)

então podemos concluir que

\(a=b \ \vee \ a=\pi-b \ \vee \ a=b+2k_1\pi \ \vee \ a=\pi-b-2k_2\pi, \ \ k_1,k_2 \in \mathbb{Z}\)

Esqueceu-se de incluir as voltas completas de \(2\pi\)

Saudações e volta sempre e ajuda os outros se souberes

[Danfergo]

entao mas nesse caso podemos dizer no caso geral apenas que: a = b + 2K1(pi) V a = (pi) - b - 2K2(pi),

porque para k = 0

a = b + 2K1(pi) <=> a = b
a = (pi) - b - 2K2(pi) <=> a = (pi) - b


podemos dizer que K1 = K2 ?

[João P. Ferreira]

Sim, tem razão, podemos dizer na generalidade que

\(a=b+2k_1\pi \ \vee \ a=\pi-b-2k_2\pi, \ \ k_1,k_2 \in \mathbb{Z}\)

e atenção que \(k_1\neq k_2\)

porque tem de contemplar todas as combinações possíveis...

[Listeiro 037]

Gostaria de saber então sobre o possível erro:

\(sen(a) = sen(b)\) -> \(sen(a) - sen(b) = 0\)

\(2 sen (\frac{a+b}{2}) cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) ->

\(sen(\frac{a+b}{2}) cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) ->

ou ao menos \(sen (\frac{a+b}{2}) = 0\)
ou ao menos \(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\)

\(sen (\frac{a+b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a+b}{2} = m \pi\)
\(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = (2n+1) \pi\)

\(a+b = 2m \pi\)
\(a-b = 2(2n+1) \pi\)

1:
\(2a = 2m \pi + 2(2n+1) \pi\)
\(a = (m + 2n + 1) \pi\)

2:
\(2b = 2m \pi - 2(2n+1) \pi\)
\(b = (m - 2n - 1) \pi\)

ou seja:

\(a = (m + 2n + 1) \pi\)
\(b = (m - 2n - 1) \pi\)

Para quaisquer \(m\) e \(n\) inteiros. Isto está correto?

*** ***** ****

Já achei um e bem simples... demais prá editar

[Listeiro 037]

Gostaria de saber então sobre o possível erro:

\(sen(a) = sen(b)\) -> \(sen(a) - sen(b) = 0\)

\(2 cos (\frac{a+b}{2}) sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) ->

\(cos(\frac{a+b}{2}) sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) ->

ou ao menos \(cos (\frac{a+b}{2}) = 0\)

ou ao menos \(sen (\frac{a-b}{2}) = 0\)

\(cos (\frac{a+b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a+b}{2} = (\frac{2m+1}{2}) \pi\) -> \(a + b = (2m+1) \pi\)
\(sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = n \pi\) -> \(a - b = 2n \pi\)

\(a + b = (2m+1) \pi\)
\(a - b = 2n \pi\)

1:
\(2a = ((2m+1) + 2n) \pi\)
\(a = ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\)

2:
\(2b = ((2m+1) - 2n) \pi\)
\(b = ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\)

ou seja:


\(a = ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\)
\(b = ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\)

Para quaisquer \(m\) e \(n\) inteiros. Isto está correto?

*** ***** ****

Esta versão seria a verão proposta.

*** ***** ****

Outro acréscimo:

Seja p um valor qualquer (por enquanto pelo menos) no intervalo aberto à direita de \(0\) a \(2 \pi\)

Então ficaria:

\(a = p + ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\)
\(b = p + ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\)

Isso preenche a lacuna \(a = b\)
Mas três variáveis?

*** ***** ****

Agora me lembrei que devem ter umas 50 mensagens de edição na caixa-postal de quem está no tópico.

[João P. Ferreira]

\(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = (2n+1) \pi\)

Não percebo esta passagem!!!

Não deveria ser

\(\frac{a-b}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi\)

ou

\(a-b=\pi(2n+1)\)

[Listeiro 037]

Obrigado por retornar.

A postagem não saiu duplicada.

Este excerto aí mostrado está errado mesmo.

A segunda postagem teria a proposta de desenvolvimento em dúvida.

A primeira eu preferi deixar como estava prá não ter que ficar re-ee-ee-ditando.

Além desse erro apontado, há também o possível erro no uso da fórmula de transformas soma/subtação em produtos.

Sem levar em conta variáveis, segue este esboço:

\(sen + sen = 2 sen cos\)

e

\(sen - sen = 2 cos sen\)

Deve ter até mais erro, resolver digitando é complicado, mas a dificuldade não se resume a só isto.

[josesousa]

Eu não percebi a passagem:

\(sen(a)-sen(b)=0 =>\)
\(2cos(\frac{a+b}{2})sen(\frac{a-b}{2}=0\)

Já que esta última expressão é apenas equivalente a \(sen(a)=0\). Acho que o erro está aí!

Assim, a solução que obtém no fim \(a=(m+n+1/2)\pi\) não surpreende.

[Listeiro 037]

Ao final eu reconsiderei e coloquei

\(a=p+(m+n+\frac{1}{2})\pi\) não surpreende.

para um valor aleatório de p ao menos no intervalo \([ 0; 2 \pi [\)

Ao menos, já que pode ser reduzido.

Mas não compreendi sua observação.