Secção de um cubo - Geometria Espacial Métrica

[Cleunilson]

Pelas extremidades de três arestas que partem de um vértice A de um cubo traçamos um plano. Mostre que a secção é um triângulo equilátero, Mostre também que a diagonal do cubo que parte de A é perpendicular ao plano da secção e precise a posição dó ponto onde ela é perpendicular. Calcule também a área do triângulo equilátero

[Sobolev]

A secção é um triângulo equilátero porque os lados desse triângulo são diagonais de faces do cubo, tendo por isso todos a mesma medida. Se imaginar o vértice A na origem de um referencial, a equação do plano é x + y + z = a, em que a>0 é a medida da aresta do cubo. O vector (a,a,a) = a(1,1,1) é perpendicular a este plano e por isso à secção referida. A diagonal que parte de A intersecta o triângulo no seu baricentro que será (a/3,a/3,a/3). Uma vez que a medida da diagonal das faces é \(\sqrt{2} a\), e a altura do triangulo pode ser facilmente calculada, a área do triângulo é \(\sqr{2} a \times \sqrt{3/2} a / 2 =\frac{\sqrt{3}}{2} a\).