Um copo cônico (base circular e reto) de papelão foi feito a partir de um setor circular de 20 centmetros...

[Caruso]

Um copo cônico (base circular e reto) de papelão foi feito a partir de um setor circular de 20 centímetros de raio e ângulo central de 180 graus. Calcule o volume desse copo.

Alguém pode me ajudar na resolução?

[Sobolev]

Os dados do problema permitem obter a altura e raio da base do cone. O perímetro da base do cone (P) será igual ao comprimento do semicírculo usado para o construir, isto é, \(P = 20 \pi\). Por outo lado, o perímetro da base do cone tamém é dado por \(2 \pi r\), em que r é o raio da base do cone. Deste modo, concluímos que r = 10. A altura do cone (h) pode ser determinada usando o teorema de Pitágoras, já que o triângulo formado pelo vértice do cone, o centro da base e qualquer ponto da circunferência de base é um triângulo rectângulo. Concretamente, \(20^2 =h^2+10^2\), pelo que \(h=10 \sqrt{3}\).

Finalmente, sabendo o raio da base e a altura, o volume do cone é dado por

\(V = \frac 13 \pi r^2 h = \frac 13 \pi 10^2 \times 10 \sqrt{3} = \frac{1000 \pi}{\sqrt{3}}\)