Trigonometria - período de Sen² 3x - Cos4x?

[paulovlg]

Pessoal,

Alguem consegue me ajudar:

Qual o período da função y= Sen² 3x - Cos4x?

R: pi

[santhiago]

Suponha que seja \(T > 0\) , então

\(y(x) =y(x+T) = sin^2(3x +3T) - cos(4x +4T) , \forall x\) iff

Em particular ,

\(y(0) = -1 = y(0+T) = sin^2(3T) - cos(4T) = sin^2(3t) - [1 - 2sin^2(2t)]\) iff

\(-1 = sin^2(3t) -1 + 2sin^2(2t)\) iff

\(0 = sin^2(3t) + 2sin^2(2t)\) o que implica que \(sin^2(3T) = 2sin^2(2T) = 0\) ;logo ...

[paulovlg]

Muito obrigado Santhiago!!!

Muito útil, mas infelizmente, não consegui concluir....
Ficaria

sen(3t) = √2*sen2t

Não consigo perceber qual seria este ângulo.

E quando descobrir, esta seria a resposta?? Pergunto isto pois na verdade estamos procurando x e voce acrescentou T a x.

[santhiago]

Não há de quê . Soma de números positivos conserva a positividade . Assim , se \(a,b \in \mathbb{R}\) \(a,b > 0\) então \(a+b > 0\) .E se ambos fossem negativos teríamos \((-a) ,(-b) > 0\) e assim \((-a) + (-b) > 0\) ou seja \(-(a+b) > 0\) e com isso \(a + b < 0\) . Agora , se o produto \(a \cdot b\) é não-negativo (ambos possuem o mesmo sinal ) então \(a+b = 0\) implica \(a = b = 0\) .De fato , \(a+b = 0\) implica \(a = - b\) o que implica que \(ab = -b^2\) .Como \(a\cdot b\) é não-negativo então só pode ser \(b = 0\) .Conclusão , como qualquer número ao quadrado é positivo ou nulo , assim

\(sin^2(3t) , sin^2(2T)\) são não negativos e portanto \(sin^2(3t) + sin^2(2T) = 0\) implica que ambos são nulos .Note que \(sin(n\pi) = 0\) para todo \(n\) inteiro e assim \(T = \pi\) .